Το πρόβλημα της ισορροπίας Nash σε κοινοβουλευτικές συμμαχίες

Abstract

Η θεωρία παιγνίων είναι η μελέτη ενός κλάδου των μαθηματικών που επιτρέπει την μελέτη των βέλτιστων στρατηγικών σε καταστάσεις σύγκρουσης. Η πρώτη αναφορά έγινε τον 18ο αιώνα, αλλά η ουσιαστική ανάπτυξη αποδίδεται στον Ούγγρο φυσικό John Von Neumann στις αρχές του 19ου. Ένα παιχνίδι ασχολείται με την απαίτηση της λήψης αποφάσεων σε περιπτώσεις όπου δύο ή περισσότεροι ορθολογικοί αντίπαλοι εμπλέκονται σε συνθήκες ανταγωνισμού και συγκρουόμενων συμφερόντων. Περιλαμβάνει επίσης τους παίκτες, που θεωρούνται αυτόνομη μονάδα λήψης αποφάσεων, παρότι δεν ελέγχουν όλους τους παράγοντες που επηρεάζουν το αποτέλεσμα του παιγνίου. Παίκτης μπορεί να θεωρηθεί ένα άτομο, μία επιχείρηση ακόμα και ένα κράτος. Ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους τα παίγνια διακρίνονται, βάσει του αριθμού των παικτών που συμμετέχουν σε αυτά. Σε κάθε διαφορετική περίπτωση παιχνιδιού οι παίκτες έχουν ένα σύνολο από διαθέσιμες στρατηγικές. Η στρατηγική για ένα παίκτη είναι το σύνολο των εναλλακτικών τρόπων δράσης που λαμβάνει για κάθε αποτέλεσμα που προκύπτει. Η πρώτη διάκριση των στρατηγικών έχει να κάνει με τις «αμιγείς» στρατηγικές στις οποίες ο παίκτης από την αρχή του παιγνίου πρέπει να έχει αποφασίσει, τι επιλογές θα κάνει ακόμα και στην περίπτωση που ποτέ δεν θα κλιθεί να τις εφαρμόσει. Η στρατηγική «maximin» έχει να κάνει με την δυνατότητα του παίκτη Α να επιλέγει πάντα το μέγιστο (maximum) των ελαχίστων (minimum) στοιχείων των σειρών του πίνακα πληρωμών και αντίστοιχα η «minimax» στρατηγική έχει να κάνει με την επιλογή του παίκτη Β να επιλέξει την ελάχιστη δυνατή ζημιά. «Κυρίαρχη» στρατηγική χαρακτηρίζεται εκείνη για την οποία ένας παίκτης κυριαρχεί έναντι των υπολοίπων για όλους τους συνδυασμούς στρατηγικών. Στους βασικούς θεμελιωτές της θεωρίας παιγνίων ανήκει ο John Nash ο οποίος εισήγαγε στα παίγνια την ιδέα της ισορροπίας η οποία χρησιμοποιείται πλέον ευρέως σε όλους τους κλάδους της σύγχρονης επιστήμης. Το θεώρημα που διατύπωσε ο Nash και έγινε γνωστό σε όλο τον κόσμο αναφέρει πως κάθε παίγνιο με πεπερασμένο πλήθος παικτών και ενεργειών έχει τουλάχιστον ένα σημείο ισορροπίας, σύμφωνα με το οποίο όλοι οι παίκτες επιλέγουν τις πιο συμφέρουσες για αυτούς ενέργειες, γνωρίζοντας και τις επιλογές των αντιπάλων τους. Από τα πιο γνωστά και σημαντικά παίγνια στην ιστορία της θεωρίας παιγνίων αποτελούν το παίγνιο του διλήμματος του φυλακισμένου, η μάχη των φύλλων όπως και το κλασσικό παιχνίδι κυριαρχίας "Risk Dominance".