Physics informed machine learning architectures for the solution of fundamental quantum mechanics equations

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία διερευνά τη χρήση των Physics-Informed Neural Networks (PINNs) ως ενιαίο υπολογιστικό πλαίσιο για την επίλυση θεμελιωδών εξισώσεων της κβαντομηχα- νικής. Βασικός στόχος, είναι η αξιολόγηση της ικανότητάς τους να προσεγγίζουν λύσεις τόσο της χρονικά εξαρτώμενης όσο και της χρονικά ανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger, ενσωματώνοντας παράλληλα φυσικούς περιορισμούς απευθείας στη διαδικασία εκπαίδευσης. Η μεθοδολογία αρχικά εφαρμόζεται στη μονοδιάστατη χρονικά εξαρτώμενη εξίσωση Schrödinger για τον αρμονικό ταλα- ντωτή, όπου τα PINNs αναπαράγουν με ακρίβεια την εξέλιξη υπέρθετων κβαντικών καταστάσεων, διατηρώντας την κανονικοποίηση και τη σταθερότητα της λύσης. Στη συνέχεια, η προσέγγιση επεκτείνεται σε χρονικά ανεξάρτητα προβλήματα μέσω μιας μεταβολικής διατύπωσης που συνδυ- άζει ελαχιστοποίηση ενέργειας και περιορισμούς ορθογωνιότητας, επιτρέποντας τον υπολογισμό τόσο της θεμελιώδους όσο και διεγερμένων καταστάσεων. Επιπλέον, αναπτύσσεται ένα δομημένο πλαίσιο PINNs για τρισδιάστατα προβλήματα, βασισμένο στον διαχωρισμό μεταβλητών σε σφαιρι- κές συντεταγμένες. Η μέθοδος επαληθεύεται με σύγκριση προς αναλυτικές λύσεις του αρμονικού ταλαντωτή, παρουσιάζοντας υψηλή ακρίβεια σε ιδιοτιμές και πυκνότητες πιθανότητας. Τέλος, η προσέγγιση εφαρμόζεται σε ρεαλιστικά προβλήματα πυρηνικής φυσικής με χρήση του δυναμικού Woods–Saxon. Τα αποτελέσματα επικυρώνονται μέσω σύγκρισης με τη βιβλιογραφία, αναλυτικές λύσεις και μεθόδους πεπερασμένων διαφορών, δείχνοντας ότι τα PINNs μπορούν να αναπαράγουν φυσικά συνεπείς λύσεις σε διαφορετικά προβλήματα. Συνολικά, η εργασία αποδεικνύει ότι τα PINNs αποτελούν μια ευέλικτη και φυσικά συνεπή εναλλακτική των κλασικών αριθμητικών μεθόδων, α- ναδεικνύοντας ταυτόχρονα προκλήσεις που σχετίζονται με την αποδοτικότητα εκπαίδευσης και τη σταθερότητα