Ταυτότητες συνδιακύμανσης με εφαρμογές σε αναλογιστικά μέτρα κινδύνων

Abstract

Σε αυτήν την εργασία παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές γενικεύσεις της ταυτότητας του Stein, η οποία στη κλασσική της εκδοχή συσχετίζει την συνδιακύμανση μίας τυχαίας μεταβλητής X που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μία τυχαία μεταβλητή g(X). Οι γενικεύσεις βασίζονται στις εργασίες των Papadatos και Papathanasiou (2001), Kattumanil (2009) και των Landsman και Valdez (2016). Συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται και αποδεικνύονται αποτελέσματα από την εργασία των Papadatos και Papathanasiou και εφαρμογές αυτών σε γνωστές κατανομές. Στη συνέχεια, στο δεύτερο κεφάλαιο, παρουσιάζεται μία άλλη μορφή ταυτότητας συνδιακύμανσης που παρέθεσε ο Kattumanil, ο οποίος έδειξε ότι αποτελεί γενίκευση της αντίστοιχης ταυτότητας των Papadatos και Papathanasiou. Επιπλέον, παρουσιάζονται εφαρμογές της γενικευμένης αυτής ταυτότητας σε οικογένειες κατανομών όπως η οικογένεια Pearson, ενώ γίνεται και μία σύνδεση με την καμπύλη Lorenz και τον δείκτη Gini. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο, επικεντρωνόμαστε στην εργασία των Landsman και Valdez, το οποίο περιέχει μία επέκταση της ταυτότητας του Stein για ουρές κατανομών. Θα δούμε ότι η συγκεκριμένη ταυτότητα αποδεικνύεται χρήσιμη στον υπολογισμό ροπών τυχαίων μεταβλητών δεσμευμένες στην ουρά της κατανομής, οι οποίες με τη σειρά τους εμφανίζονται στην αναλογιστική διαχείριση κινδύνων.