Θεωρία χρεοκοπίας για μοντέλα κινδύνων με δύο κλάσεις στοχαστικών απαιτήσεων

Abstract

Η μαθηματική θεωρία κινδύνου ξεκινάει ουσιαστικά από τις αρχές του 20ού αιώνα, με τους μαθηματικούς Filip Lundberg και Harald Cramer να ενσωματώνουν τη θεωρία των στοχαστικών απαιτήσεων στην αναλογιστική επιστήμη. Πρόσφατα, οι Gerber και Shiu, στην εργασία τους ‘On the time value of ruin’ έδωσαν πρωτόγνωρες διαστάσεις στη μαθηματική θεωρία κινδύνου. Συγκεκριμένα, κατάφεραν να ενσωματώσουν όλα τα μέτρα κινδύνου ενός ασφαλιστικού οργανισμού, σε μία μόνο συνάρτηση, την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής. Κύρια υπόθεση στα προαναφερόμενα μοντέλα είναι η ανεξαρτησία μεταξύ του χρόνου εμφάνισης των κινδύνων και του ύψους της ζημιάς, η οποία προκύπτει από την εμφάνιση αυτών. Στην πραγματικότητα, βέβαια, δεν αντικατοπτρίζεται πλήρως η εξάρτηση που υπάρχει μεταξύ του χρόνου εμφάνισης των κινδύνων και του μεγέθους ζημιών. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, θα ασχοληθούμε με τη μελέτη της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής των Gerber-Shiu, όπου η στοχαστική διαδικασία των συνολικών αποζημιώσεων παράγεται από δύο κλάσεις κινδύνων. Στο πρώτο κεφάλαιο, θα ξεκινήσουμε κάνοντας μια εισαγωγή, εισάγοντας τα μέτρα κινδύνου, τη στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος, καθώς επίσης θα δώσουμε τον ορισμό της αναμενόμενης προεξοφλητικής συνάρτησης ποινής. Στη συνέχεια, θα δώσουμε την περιγραφή του ίδιου μοντέλου, αυτή τη φορά ορίζοντάς το για δύο κλάσεις στοχαστικών απαιτήσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο, πραγματευόμαστε την υπόθεση πως οι διαδικασίες αριθμού αξίωσης είναι ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson και γενικευμένη Erlang(𝑛), αντίστοιχα. Στη συνέχεια, θα δώσουμε αποτελέσματα για τη συνάρτηση Gerber-Shiu, για δύο κλάσεις στοχαστικών απαιτήσεων. Στο τρίτο κεφάλαιο, θεωρούμε ότι και οι δύο διαδικασίες αριθμού αξίωσης είναι ανανεωτικές διαδικασίες, με χρόνους απαιτήσεων τύπου φάσης (phase-type). Θα δώσουμε εκ νέου ολοκληρο-διαφορικές εξισώσεις, καθώς και ρίζες της εξίσωσης Lundberg, προσαρμοσμένες στην υπόθεσή μας. Στο τέταρτο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με τη μελέτη του μέγιστου πλεονάσματος, πριν ακριβώς από τη χρεοκοπία. Η μελέτη μας θα γίνει επίσης σε δύο κατηγορίες μοντέλου κινδύνου, όπου και οι δύο διαδικασίες αριθμού των απαιτήσεων έχουν χρόνους άφιξης που ακολουθούν κατανομή τύπου φάσης. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο πραγματοποιείται μελέτη των στοχαστικών ασφαλίστρων, για δύο κλάσεις στοχαστικών απαιτήσεων, και δίνονται σχετικά αποτελέσματα για τους μετασχηματισμούς Laplace των αναμενόμενων προεξοφλητικών συναρτήσεων ποινής.