Μελέτη μοντέλων κινδύνου με στοχαστικά ασφάλιστρα

Abstract

Στο κλασικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνου, τα ασφάλιστρα εισπράττονται από την ασφαλιστική εταιρία με σταθερό ρυθμό, δηλαδή θεωρούνται ότι είναι γραμμικές συναρτήσεις του χρόνου. Σε αυτή τη διπλωματική εργασία, θεωρούμε την πιο ρεαλιστική υπόθεση όπου τα συνολικά ασφάλιστρα (όπως και οι συνολικές ζημιές) είναι στοχαστικές ανελίξεις και συγκεκριμένα ακολουθούν τη σύνθετη Poisson στοχαστική ανέλιξη. Θα εξεταστούν δύο μοντέλα κινδύνου. Στο πρώτο θεωρείται ότι τα ασφάλιστρα και οι συνολικές αποζημιώσεις είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και στο δεύτερο εξετάζεται μια συγκεκριμένη μορφή εξάρτησης μεταξύ των μεγεθών ατομικών ζημιών, του ύψους των ασφαλίστρων και των χρόνων εμφάνισης των κινδύνων. Πιο συγκεκριμένα, το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί εισαγωγή όπου παρουσιάζονται βασικές έννοιες από τη θεωρία χρεοκοπίας, γίνεται αναφορά στην ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση και την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτησης ποινής των Gerber-Shiu. Στο δεύτερο κεφάλαιο υποθέτεται ένα μοντέλο χρεοκοπίας όπου τόσο η διαδικασία καταβολής των αποζημιώσεων, όσο και η διαδικασία είσπραξης των ασφαλίστρων ικανοποιούν σύνθετες διαδικασίες Poisson. Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση Gerber-Shiu του νέου μοντέλου ικανοποιεί μία ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση, όπως και μια εξίσωση ολοκληρωτικής μορφής. Τέλος η περίπτωση όπου τα ύψη των ασφαλίστρων ακολουθούν Erlang (n^) κατανομή και η κατανομή του μεγέθους των αποζημιώσεων είναι αυθαίρετη, μελετάται πιο διεξοδικά. Στα πλαίσια αυτής της περίπτωσης γίνεται και ο υπολογισμός κάποιων μέτρων χρεοκοπίας όπως της απόλυτης χρεοκοπίας και του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία. Στο τρίτο κεφάλαιο επεκτείνεται το μοντέλο με στοχαστικά ασφάλιστρα υποθέτοντας την ύπαρξη μιας συγκεκριμένης εξάρτησης μεταξύ του ύψους των αποζημιώσεων, του ενδιαμέσου χρόνου επέλευσης των ζημιών και του ύψους των ασφαλίστρων. Υποθέτεται επίσης, ότι οι κατανομές του ύψους των ασφαλίστρων και των ενδιάμεσων χρόνων επέλευσης των αποζημιώσεων ελέγχονται πλήρως από το ύψος των αποζημιώσεων. Όταν τα ύψη των ασφαλίστρων είναι εκθετικά κατανεμημένα τότε υπολογίζονται οι μετασχηματισμοί Laplace και οι ελλειμματικές ανανεωτικές εξισώσεις που ικανοποιούν οι συναρτήσεις Gerber-Shiu. Τέλος, όταν τα ύψη των ασφαλίστρων έχουν συγκεκριμένη μορφή μετασχηματισμού Laplace, αποδεικνύεται ότι μπορεί να βρεθεί και ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων προεξοφλημένης ποινής.