Μελέτη προδρομικών και αναδρομικών χρόνων εμφάνισης σε μία ανανεωτική ανέλιξη

Abstract

Στην παρούσα εργασία μελετάται ο προδρομικός και αναδρομικός χρόνος εμφάνισης σε μία ανανεωτική διαδικασία. Αρχικά, βρίσκεται η ανανεωτική εξίσωση που ικανοποιεί η κατανομή του προδρομικού και αναδρομικού χρόνου ενώ επιπλέον υπολογίζεται η από κοινού ουρά της κατανομής των δύο αυτών μεταβλητών. Επιπροσθέτως, μελετάται η συνάρτηση συνδιακύμανσης μεταξύ του προδρομικού και αναδρομικού χρόνου εμφάνισης. Μέσω της από κοινού συνάρτησης κατανομής του προδρομικού και αναδρομικού χρόνου εμφάνισης, υπολογίζεται ένας κλειστός τύπος στη χρονικά εξαρτημένη περίπτωση και ένας απλός τύπος για τη σταθερή κατάσταση. Επιπλέον, υπολογίζεται η συνάρτηση συσχέτισης του προδρομικού και αναδρομικού χρόνου για τη σταθερή κατάσταση. Τέλος, εξετάζεται ένα στατιστικό πρόβλημα που αφορά στην εκτίμηση της συνάρτησης κατανομής του προδρομικού χρόνου ζωής. Δοθέντος ενός τυχαίου δείγματος από ενδιάμεσους χρόνους, για τους οποίους η κοινή κατανομή F δεν είναι γνωστή, βρίσκεταιε ένας δειγματικός εκτιμητής για την εκτιμώμενη συνάρτηση. Με τη βοήθεια του θεωρήματος Glivenko - Cantelli, αποδεικνύεται ότι αυτός ο δειγματικός εκτιμητής ο οποίος κατασκευάζεται με βάση την εμπειρική συνάρτηση κατανομής, είναι συνεπής. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι ο εκτιμητής συγκλίνει ομοιόμορφα στην εκτιμώμενη συνάρτηση, αρχικά σε κάθε διάστημα της μορφής [0,b], αλλά και τελικά σε όλο το [0,^>).