Μελέτη ενός ημι-Μαρκοβιανού μοντέλου για τη διαδικασία πλεονάσματος ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου

Abstract

Η διπλωματική εργασία πραγματεύεται τη μελέτη ενός ημι-Μαρκοβιανού μοντέλου για την περιγραφή της διαδικασίας πλεονάσματος ενός χαρτοφυλακίου, με μια ενιαία μεθοδολογία. Κάποιες σχετικές τυχαίες μεταβλητές που συνδέονται με την πιθανότητα χρεοκοπίας είναι ο χρόνος χρεοκοπίας, δηλαδή η στιγμή που το πλεόνασμα θα πάρει για πρώτη φορά αρνητική τιμή, το πλεόνασμα ακριβώς πριν τη στιγμή της χρεοκοπίας και το πλεόνασμα τη στιγμή της χρεοκοπίας. Η από κοινού μελέτη των τριών αυτών μεγεθών δίνει περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη συμπεριφορά της διαδικασίας του πλεονάσματος από ότι η μελέτη κάθε μέτρου ξεχωριστά. Οι Gerber και Shiu ανέλυσαν ταυτόχρονα τη συμπεριφορά των παραπάνω χαρακτηριστικών μέσω της κλασικής πλέον αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής των Gerber-Shiu. Η εργασία έχει την ακόλουθη δομή. Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί ένα εισαγωγικό μέρος στο οποίο δίνονται οι βασικές έννοιες της εργασίας. Αρχικά, δίνεται μια σύντομη περιγραφή της διαδικασίας πλεονάσματος. Στην συνέχεια, ορίζεται το γενικό ημι-Μαρκοβιανό μοντέλο και οι διάφορες εμπλεκόμενες μεταβλητές και παραμέτροί του. Τέλος, δίνεται η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής των Gerber-Shiu και κάποιες σημαντικές περιπτώσεις της. Στο δεύτερο κεφάλαιο δείχνεται ότι η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής των Gerber-Shiu ικανοποιεί μια ολοκληρο-διαφορική εξίσωση και αναλύεται μέσω μετασχηματισμών Laplace. Επίσης δίνονται με ενιαίο τρόπο αποτελέσματα για τα διάφορα μέτρα χρεοκοπίας, καθώς και η ασυμπτωτική συμπεριφορά της συνάρτησης ποινής για κατανομές του μεγέθους ζημιάς με ελαφριά ουρά. Τα επόμενα κεφάλαια αναλύουν επιμέρους περιπτώσεις που περιλαμβάνονται στο γενικό μοντέλο. Στο τρίτο κεφάλαιο εξειδικεύονται τα αποτελέσματα του δεύτερου κεφαλαίου για το κλασικό μοντέλο σύνθετης Poisson της θεωρίας κινδύνων. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετάται η ειδική περίπτωση για το ανανεωτικό Sparre Andersen μοντέλο με ενδιάμεσους χρόνους εμφάνισης κινδύνων να ακολουθούν τη γενικευμένη Erlang κατανομή δύο σταδίων. Το πέμπτο κεφάλαιο αναφέρεται σε μια άλλη ειδική περίπτωση του ανανεωτικού Sparre Andersen μοντέλου με τους ενδιάμεσους χρόνους εμφάνισης κινδύνων να ακολουθούν phase- type κατανομή δύο φάσεων. Το έκτο κεφάλαιο εστιάζει σε μια γενίκευση του κλασικού μοντέλου χρεοκοπίας. Συγκεκριμένα θεωρείται η περίπτωση όπου οι χρόνοι εμφάνισης των απαιτήσεων εξαρτώνται από το μέγεθος της προηγούμενης απαίτησης. Η εξάρτηση αυτού του είδους επίσης περιλαμβάνεται και αναλύεται από το προτεινόμενο γενικό μοντέλο. Ακολουθεί ένα αριθμητικό παράδειγμα για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας. Τέλος, στο παράρτημα παρατίθενται ο ορισμός του μετασχηματισμού Laplace για συναρτήσεις και κατανομές πιθανοτήτων, και οι σχετικές ιδιότητές του που χρησιμοποιούνται στην παρούσα εργασία.