Το κλασικό μοντέλο της θεωρίας χρεοκοπίας με εξαρτήσεις μεταξύ μεγεθών και χρόνων εμφάνισης των ζημιών

Abstract

Η εύρυθμη λειτουργία ενός ασφαλιστικού οργανισμού εξαρτάται κυρίως από τον σχηματισμό επαρκών αποθεματικών προκειμένου να είναι σε θέση να καλύψει τις υποχρεώσεις του έναντι τρίτων (επιχειρηματικά ρίσκα) και κυρίως των ασφαλισμένων του (ασφαλιστικά ρίσκα). Στην ασφαλιστική ορολογία, τα εν λόγω αποθεματικά ( ή ακριβέστερα η διαφορά ανάμεσα στο ενεργητικό της ασφαλιστικής επιχείρησης και στην καλύτερη δυνατή αναλογιστική εκτίμηση των συνολικών της υποχρεώσεων – αποζημιώσεων) χαρακτηρίζονται με τον όρο πλεόνασμα. Βασικό πρόβλημα της (κλασικής) θεωρίας κινδύνου είναι ο προσδιορισμός της πιθανότητας χρεοκοπίας, δηλαδή της πιθανότητας τα αποθεματικά να μην είναι επαρκή για την κάλυψη των συνολικών αποζημιώσεων. Η αρχή της (μαθηματικής) θεωρίας κινδύνου προσδιορίζεται στις αρχές του 20ου αιώνα όταν ο Σουηδός Filip Lundberg (1903) με την περίφημη διατριβή του (Approximerad fremställning au sannolikheets funktionen, Upsalla) έθεσε τα θεμέλια της. Βασιζόμενος σε αυτή, ο Harald Cramér (1930), με μία σειρά από εργασίες, ενσωμάτωσε τη θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών στη θεωρία κινδύνου. Το βασικό μοντέλο που προέκυψε από τις παραπάνω συνεισφορές ονομάζεται, κλασικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνου ή μοντέλο Cramér – Lundberg. Κύριο χαρακτηριστικό του συγκεκριμένου μοντέλου είναι ότι ο αριθμός των ζημιών σε ένα ασφαλιστικό χαρτοφυλάκιο κινδύνων περιγράφεται από την κατανομή Poisson. Η γενίκευση του κλασικού μοντέλου έγινε το 1957 όταν ο Νορβηγός Sparre Andersen παρουσίασε, στο 15ο αναλογιστικό συνέδριο στη Νέα Υόρκη, την εργασία ΄΄On the collective theory of risk in case of contagion between the claims΄΄. Κύριο χαρακτηριστικό στο μοντέλο Sparre Andersen ή ανανεωτικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνου είναι ότι ο αριθμός των ζημιών σε ένα ασφαλιστικό χαρτοφυλάκιο κινδύνων περιγράφεται από μία ανανεωτική διαδικασία. Επομένως, είναι φανερό ότι τα μοντέλα που εισήχθησαν για την μοντελοποίηση του προβλήματος της χρεοκοπίας εξαρτώνται άμεσα από τη (στοχαστική) διαδικασία που επιλέγεται για την περιγραφή του αριθμού των κινδύνων.