A hybrid approach for solving deterministic and stochastic partial differential equations : application to smart energy management systems

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζει μια υβριδική μεθοδολογία για την επίλυση ζευγμένων ντετερμινιστικών και στοχαστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ), με εφαρμογή στη διαχείριση έξυπνων ενεργειακών συστημάτων. Οι εξισώσεις Allen–Cahn και Cahn–Hilliard χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση της κατανομής και της διακύμανσης της ενέργειας αντίστοιχα. Ο συνδυασμός αυτών των εξισώσεων επιτρέπει την ταυτόχρονη αναπαράσταση προβλέψιμων αλλά και αβέβαιων δυναμικών σε δίκτυα ενέργειας. Για την αποδοτική επίλυση αυτών των εξισώσεων, υλοποιείται ένα πλαίσιο Physics-Informed Neural Networks (PINNs), το οποίο ενσωματώνει φυσικούς νόμους στη διαδικασία εκπαίδευσης νευρωνικών δικτύων, μειώνοντας την ανάγκη για μεγάλα σύνολα δεδομένων. Επιπλέον, αναπτύσσεται ένα προηγμένο σύστημα πέντε συζευγμένων ΜΔΕ που περιγράφει πολύπλοκες ενεργειακές ροές, αποθήκευση, και στοχαστική ζήτηση. Η μελέτη περιλαμβάνει τεχνικές όπως η δειγματοληψία Quasi-Monte Carlo, η χρήση Sobol ακολουθιών και βελτιστοποιημένων αλγορίθμων εκπαίδευσης. Τα αποτελέσματα καταδεικνύουν τη δυνατότητα του προτεινόμενου μοντέλου να αποδίδει με ακρίβεια, αποδοτικότητα και επεκτασιμότητα σε πραγματικά σενάρια διαχείρισης ενέργειας.