Μέτρα χρεοκοπίας για ανανεωτικές στοχαστικές διαδικασίες πλεονάσματος με εξάρτηση

Abstract

Το κεφάλαιο 1 εισάγει βασικές μαθηματικές έννοιες και το κλασσικό μοντέλο κινδύνου Poisson, που χρησιμοποιείται στην ανάλυση της φερεγγυότητας ασφαλιστικών εταιρειών. Παρουσιάζονται τα πολυώνυμα Lagrange, ο μετασχηματισμός Laplace, ο τελεστής Dickson-Hipp και η ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση, προσφέροντας εργαλεία για την κατανόηση του πλεονάσματος μέσω στοχαστικών διαδικασιών. Επιπλέον, αναλύονται οι κατανομές μικτή Erlang και Coxian, ενώ η σύνθετη Poisson κατανομή περιγράφει τον συνολικό κίνδυνο. Τέλος, γίνεται αναφορά στα μέτρα χρεοκοπίας και στη συνάρτηση Gerber-Shiu για τη μελέτη του ύψους και του ελλείμματος του πλεονάσματος. Το κεφάλαιο 2 επικεντρώνεται στη γενίκευση του κλασικού μοντέλου κινδύνου Poisson, παρουσιάζοντας το εξαρτημένο μοντέλο Sparre-Andersen. Αυτό το μοντέλο επιτρέπει την ανάλυση των κατανομών των απαιτήσεων και του πλεονάσματος, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών. Αναλύεται η συνάρτηση Gerber-Shiu, η οποία εξετάζει τη χρεοκοπία, το έλλειμμα και το πλεόνασμα, και παρουσιάζονται εξισώσεις για την περιγραφή αυτών των φαινομένων, συμπεριλαμβανομένων μετασχηματισμών Laplace. Τέλος, αναλύονται οι ροπές του ελλείμματος κατά τη χρεοκοπία, αποκαλύπτοντας σημαντικά χαρακτηριστικά του μοντέλου. Το κεφάλαιο 3 παρουσιάζει το εξαρτημένο μοντέλο Sparre Andersen, όπου ο χρόνος μεταξύ απαιτήσεων και τα μεγέθη τους ακολουθούν την Coxian κατανομή και μπορεί να είναι εξαρτημένα. Μελετώνται οι ροπές του χρόνου μέχρι τη χρεοκοπία μέσω γραμμικών συστημάτων εξισώσεων, ενώ εξετάζεται η συνάρτηση Gerber-Shiu για την περιγραφή του πλεονάσματος. Παρουσιάζονται θεωρήματα που παρέχουν αναλυτικές λύσεις και μεθοδολογία για τον υπολογισμό των ροπών. Τέλος, δίνεται αριθμητικό παράδειγμα για δύο περιπτώσεις εξάρτησης με κώδικα στη R και γραφική απεικόνιση των αποτελεσμάτων για τον μέσο χρόνο και τη διακύμανση μέχρι τη χρεοκοπία. Στο κεφάλαιο 4, αναλύεται η επέκταση του μοντέλου Sparre Andersen με τη χρήση της copula Farlie – Gumbel – Morgenstern (FGM) για την περιγραφή εξαρτήσεων μεταξύ μεγεθών απαιτήσεων και χρόνων μεταξύ αυτών. Οι χρόνοι άφιξης μοντελοποιούνται μέσω της κατανομής Erlang. Επιπλέον, εξετάζεται η συνάρτηση Gerber – Shiu, παρέχοντας εκφράσεις για την πιθανότητα χρεοκοπίας και τη γενικευμένη εξίσωση του Lundberg, ενώ παρουσιάζονται αναλυτικά αποτελέσματα για την περίπτωση εκθετικά κατανεμημένων απαιτήσεων. Τέλος, το 5ο κεφάλαιο ασχολείται με την εξάρτηση μεταξύ τυχαίων μεταβλητών μέσω της copula Spearman, επεκτείνοντας το κλασικό μοντέλο κινδύνου χωρίς ανεξαρτησία μεταξύ απαιτήσεων. Αναλύει τη γενικευμένη εξίσωση Lundberg, τον μετασχηματισμό Laplace της συνάρτησης ποινής και την πιθανότητα χρεοκοπίας. Εξετάζει την επίδραση του βαθμού εξάρτησης στις πιθανότητες χρεοκοπίας και παρουσιάζει αριθμητικά παραδείγματα για τις συνάρτησεις Gerber-Shiu και την πιθανότητα χρεοκοπίας, λαμβάνοντας υπόψη διαφορετικές τιμές εξάρτησης.