Ακριβείς και αναδρομικές σχέσεις για τις ροπές του χρόνου χρεοκοπίας στο κλασικό πρότυπο της θεωρίας κινδύνων

Abstract

Η αναλογιστική επιστήμη είναι ο κλάδος ο οποίος εφαρμόζει στατιστικές και μαθηματικές μεθόδους για να εκτιμήσει τον κίνδυνο της αβεβαιότητας σε μελλοντικά γεγονότα σε ασφαλιστικές, χρηματοοικονομικές επενδύσεις και σε άλλους κλάδους και να τον ελαχιστοποιήσει. Η θεωρία χρεοκοπίας, που αποτελεί κλάδο της θεωρίας κινδύνων, με τα κατάλληλα μαθηματικά μοντέλα μας περιγράφει τις ποσότητες για την πιθανότητα χρεοκοπίας και μελετάει την κατανομή του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία και του ελλείματος τη στιγμή της χρεοκοπίας. Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα γίνει μελέτη για την ελλειμματική τυχαία μεταβλητή που αναφέρεται στο χρόνο, Τ, όπου θα συμβεί η χρεοκοπία στο κλασσικό πρότυπο. Ενδιαφέρον έχει να εξεταστεί η τυχαία μεταβλητή που προκύπτει 𝑇𝑐 (ο χρόνος χρεοκοπίας, δοθέντος, ότι θα συμβεί η χρεοκοπία) η οποία είναι μη ελλειμματική και δεν είναι γνωστή η πυκνότητα της. Γενικά είναι δύσκολο να προσδιοριστούν αυτές οι ροπές με ακριβή υπολογισμό, για αυτό το λόγο χρησιμοποιούνται προσεγγίσεις. Για τη συγκεκριμένη εργασία θα προσπαθήσουμε να εξετάσουμε τις δεσμευμένες ροπές του χρόνου χρεοκοπίας και ποσότητες που συνδέονται με τις τρεις πρώτες ροπές της μεταβλητής 𝑇𝑐, όπως ο συντελεστής μεταβλητότητας και ο συντελεστής ασυμμετρίας μέσω παραδειγμάτων και διαγραμμάτων,. Αυτό θα γίνει με τη βοήθεια του μαθηματικού πακέτου Mathematica και της γλώσσας προγραμματισμού R. Διάφορες προσεγγίσεις έχουν χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη και τις ιδιότητες των πιθανοτήτων χρεοκοπίας στο χρόνο. Οι έρευνες του Gerber (1987) και των Dufresne & Gerber (1988) επικεντρώνονται στην ανάλυση της έκφρασης για την πιθανότητα χρεοκοπίας και στη συνάρτηση της κατανομής του πλεονάσματος πριν από το χρόνο χρεοκοπίας. Υπάρχουν μέθοδοι για τον υπολογισμό και προσέγγιση των ροπών και της πυκνότητας 𝑇𝑐 (Dickson & Waters, 2002), όμως η πιο ακριβής προσέγγιση είναι του De Vylder (1978). Το μέγεθος των αποζημιώσεων στα παραδείγματα που θα εξεταστούν είναι είτε συνδυασμός Εκθετικών κατανομών είτε Γάμμα κατανομών.