Στοχαστικά μοντέλα στη θεωρία κινδύνου με εξάρτηση και διάχυση

Abstract

Στη θεωρία χρεοκοπίας, για πόλλα χρόνια, ήταν σύνηθες για την μοντελοποίηση της στοχαστικής διαδικασίας του πλεονάσματος να χρησιμοποίειται το μοντέλο Cramer-Lundberg (κλασσικό μοντέλο) ή το ανανεωτικό μοντέλο (μοντέλο Sparre-Andersen).Απαραίτητη προϋπόθεση για την χρήση των παραπάνω μοντέλων είναι η ύπαρξη ανεξαρτησίας μεταξύ του ύψους των ζημιών (ατομικών απαιτήσεων) και των ενδιάμεσων χρόνων εμφάνισης ζημιογόνων ενδεχομένων.Στην πραγματικότητα όμως κάτι τέτειο δεν υφίσταται πάντα, έτσι τα τελευταία χρόνια η έρευνα έχει επικεντρωθεί στη μελέτη και ανάπτυξη μοντέλων με εξάρτηση.Στην παρούσα διπλωματική θα αναπτυχθεί ένα μοντέλο στο οποίο η κατανομή του χρόνου μέχρι την επόμενη απαίτηση εξαρτάται από το ύψος της προηγούμενης απαίτησης, δηλαδή η κατανομή του ενδιάμεσου χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικών απαιτήσεων εξαρτάται από το ύψος της απαίτησης που προηγείται χρονικά.Στα πρώτα δύο κεφάλαια παρουσιάζοντε βασικά αποτελέσματα της θεωρίας των στοχαστικών διαδικασιών, της θεωρίας χρεοκοπίας κάθως και χρήσιμες έννοιες για τα επόμενα κεφάλαια.Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται ένα μοντέλο με την παραπάνω δομή εξάρτησης ενώ αναπτύσεται για τo μοντέλο αυτό η γενικευμένη εξίσωση Lundberg καθώς και η συνάρτηση των Gerber-Shiu αλλά και χρήσιμες ποσότητες όπως ο μετασχηματισμός Laplace του χρόνου χρεοκοπίας,ενώ παρατίθενται και αριθμητικά παραδείγματα. Στο τέταρτο κεφάλαιο στο μοντέλο με εξάρτηση εισάγεται ένας όρος διάχυσης και η εργασία επικεντρώνεται στην εξίσωση Lundberg, στη συνάρτηση Gerber-Shiu (με σκοπό την εξαγωγή μέτρων χρεοκοπίας) στο μετασχηματισμό Laplace για το χρόνο χρεοκοπίας (όπως και στο τρίτο κεφάλαιο) αλλά και στην μελέτη ολοκληροδιαφορικών εξισώσεων για το συγκεκριμένο μοντέλο. Στο πέμπτο κεφάλαιο εισάγεται και αναλύεται ένα δυϊκό μοντέλο με εξάρτηση αλλά και παράγοντα διάχυσης και παρουσιάζεται ο μετασχηματισμός Laplace για τη στιγμή της χρεοκοπίας.