Ευθέα και αντίστροφα προβλήματα σκέδασης επιπέδων και σφαιρικών ελαστικών κυμάτων

Abstract

Στην παρούσα διατριβή μελετάμε ευθέα και αντίστροφα προβλήματα σκέδασης ελαστικών κυμάτων από ένα μη-διαπερατό μερικώς επικαλυμμένο αντικείμενο που βρίσκεται σε ένα ομογενές και ισότροπο ελαστικό μέσο. Μοντελοποιούμε μαθηματικά το πρόβλημα σκέδασης μέσω της φασματικής εξίσωσης Navier, θεωρώντας προσπίπτοντα κυματικά πεδία από σημειακές πηγές, με αντίστοιχα σκεδασμένα κυματικά πεδία, τα οποία λαμβάνονται σε μία κλειστή, λεία καμπύλη στο εσωτερικό του αντικειμένου-σκεδαστή. Ιδιαίτερα, από μαθηματικής άποψης, το μοντέλο μας περιγράφεται από ένα εσωτερικό, μεικτό πρόβλημα συνοριακών τιμών στο οποίο το σκεδασμένο πεδίο ικανοποιεί τη μεικτή συνοριακή συνθήκη τύπου Dirichlet-Robin στο λείο σύνορο του σκεδαστή. Αποδεικνύουμε για το ευθύ πρόβλημα σκέδασης την καλή τοποθέτηση του σε κατάλληλο συναρτησιακό πλαίσιο χρησιμοποιώντας χώρους Sobolev και συγκεκριμένα θεμελιώνουμε αποτελέσματα μοναδικότητας, ύπαρξης και ευστάθειας λύσης. Αντίστοιχα αποτελέσματα παρουσιάζουμε επίσης για το ευθύ πρόβλημα σκέδασης από ένα μη-ομογενές ελαστικό μέσο με άγνωστα θαμμένα αντικείμενα στο εσωτερικό του. Επίσης, μελετάμε τα αντίστοιχα αντίστροφα προβλήματα σκέδασης και χρησιμοποιώντας κατάλληλους βοηθητικούς ολοκληρωτικούς τελεστές, μορφής δυναμικών απλού και διπλού στρώματος, θεμελιώνουμε μία τροποποιημένη μέθοδος παραγοντοποίησης για την επίλυσή του. Επιπλέον, παρουσιάζουμε και αποδεικνύουμε όλο το θεωρητικό πλαίσιο μέσω του οποίου προτείνεται αλγόριθμος αντιστροφής για την ανακατασκευή του συνόρου, του μερικώς επικαλυμμένου σκεδαστή. Τέλος, παραθέτουμε χρήσιμες παρατηρήσεις, συμπεράσματα και εφαρμογές σχετικά με το ευθύ πρόβλημα σκέδασης και τη σύνδεσή του με το αντίστροφο.