Μοντέλα πιθανοτήτων για περιγραφή μη κανονικών κινδύνων

Abstract

Στους κλάδους της οικονομικής, ασφαλιστικής επιστήμης καθώς και της διαχείρισης κινδύνου συχνά εμφανίζονται δεδομένα που κατά τη μοντελοποίηση τους δεν μπορούν να περιγραφούν από τις κλασικές κατανομές. Τέτοια δεδομένα είναι οι χρόνοι ζωής ασθενών που συμμετέχουν σε κλινικές μελέτες ή οι ζημιές μίας τράπεζας από μη εξυπηρετούμενα δάνεια. Τα τελευταία χρόνια πολλοί ερευνητές επικεντρώθηκαν στην εύρεση νέων μοντέλων κατανομών, βασικό γνώρισμα των οποίων είναι η μεγαλύτερη ευελιξία και η καλύτερη προσαρμογή τους σε τέτοιου είδους δεδομένα. Στην παρούσα εργασία θα γίνει παρουσίαση δύο νέων οικογενειών κατανομών, των τεχνικών με τις οποίες δημιουργήθηκαν καθώς και των κύριων χαρακτηριστικών μεγεθών τους. Οι οικογένειες κατανομών που παρουσιάζονται στην παρούσα εργασία έχουν μελετηθεί στην έως τώρα βιβλιογραφία για την προσαρμογή τους σε δεδομένα χρόνων ζωής, όμως πρόκειται για κατανομές που δύνανται να χρησιμοποιηθούν για προσαρμογή και σε δεδομένα του ασφαλιστικού ή τραπεζικού κλάδου, όπως ζημιές μίας τράπεζας από μη εξυπηρετούμενα δάνεια ή αποζημιώσεις μίας ασφαλιστικής εταιρίας. Συγκεκριμένα, θα παρουσιάσουμε την οικογένεια των γενικευμένων μετασχηματισμένων κατανομών (GT-F) και την οικογένεια των νέων κατανομών με βαριά ουρά (NHT-F) οι οποίες επεκτείνουν τις κλασικές κατανομές. Οι τελευταίες έχουν το ρόλο του γεννήτορα στα νέα μοντέλα. Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας γίνεται μία εισαγωγή του θέματος που πραγματεύεται η εργασία. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιλαμβάνεται ένα εισαγωγικό μέρος με βασικές έννοιες από το χώρο των πιθανοτήτων και της στατιστικής. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στην οικογένεια των γενικευμένων μετασχηματισμένων κατανομών με γεννήτορα μία κατανομή F. Παρουσιάζεται ο ορισμός της οικογένειας και τα βασικά χαρακτηριστικά μεγέθη της καθώς και τεχνικές εκτίμησης των παραμέτρων της. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετώνται δύο περιπτώσεις της οικογένειας των γενικευμένων μετασχηματισμένων κατανομών, εκείνη που έχει ως γεννήτορα την εκθετική κατανομή και εκείνη που έχει ως γεννήτορα την κατανομή Γάμμα. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η δεύτερη οικογένεια κατανομών που μελετάται στην παρούσα εργασία, η οικογένεια των νέων κατανομών με βαριά ουρά με γεννήτορα μία κατανομή F. Παραθέτουμε τον ορισμό της και τα βασικά χαρακτηριστικά μεγέθη της καθώς και τεχνικές εκτίμησης των παραμέτρων της. Στο έκτο κεφάλαιο μελετώνται δύο περιπτώσεις της οικογένειας των νέων κατανομών με βαριά ουρά, όταν τη θέση του γεννήτορα έχουν η εκθετική και η κατανομή Γάμμα. Στο έβδομο κεφάλαιο εξετάζεται η προσαρμογή των μοντέλων κατανομών που αναλύονται στο τέταρτο και στο έκτο κεφάλαιο σε πραγματικά δεδομένα. Τέλος, στα παραρτήματα παρατίθενται οι ορισμοί διάφορων εννοιών που δεν περιέχονται στο κυρίως κείμενο, σχετικές αποδείξεις και οι κώδικες που χρησιμοποιήθηκαν στο στατιστικό πακέτο της R.