Καμπύλες του Andrews και γενικεύσεις

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως θέμα την παρουσίαση μίας σχετικά νέας τεχνικής για την αναπαράσταση πολυδιάστατων δεδομένων που παρουσίασε για πρώτη φορά ο Andrews το 1972. Η τεχνική αυτή ονομάζεται Καμπύλες Andrews και αφορά την αναπαράσταση κάθε παρατήρησης ενός συνόλου μέσω μιας καμπύλης. Η συγκεκριμένη τεχνική, λόγω της μαθηματικής φύσης της συνάρτησης που χρησιμοποιείται για τη χάραξη των καμπυλών, έχει κάποιες καλές ιδιότητες που αξιοποιούνται στις διάφορες χρήσεις της. Στο πρώτο κεφάλαιο, γίνεται μία σύντομη εισαγωγή στην πολυμεταβλητή ανάλυση δεδομένων και στην οπτική αναπαράσταση πολυδιάστατων παρατηρήσεων. Επίσης γίνεται μία εισαγωγή στην τεχνική των Καμπυλών Andrews. Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνεται ο ορισμός της συνάρτησης του Andrews καθώς και των καμπυλών που προκύπτουν από τη χάραξη της συγκεκριμένης συνάρτησης. Ακόμα δίνονται κάποιες από τις πλέον σημαντικές και χρήσιμες ιδιότητες των Καμπυλών Andrews. Τέλος, γίνεται αναφορά στην κριτική που έχει δεχθεί η συγκεκριμένη τεχνική και προτείνονται λύσεις για τα διάφορα προβλήματα που προκύπτουν. Στο τρίτο κεφάλαιο, ο αναγνώστης θα βρει διάφορες παραλλαγές της μεθόδου που έχουν δοθεί στη βιβλιογραφία. Πιο συγκεκριμένη γίνεται ένας διαχωρισμός σε τέσσερις κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία παραλλαγών αφορά εκείνες στις οποίες γίνεται χρήση της βάσης Fourier, όπως ακριβώς και στις Καμπύλες Andrews. Η δεύτερη κατηγορία αφορά εκείνες στις οποίες χρησιμοποιούνται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χωρίς να γίνεται χρήση της βάσης Fourier. Στην τρίτη κατηγορία περιγράφονται οι παραλλαγές στις τρεις διαστάσεις και στην τέταρτη εκείνες στις οποίες δεν γίνεται χρήση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Στο τέταρτο κεφάλαιο δίνονται μερικές από τις πιο γνωστές χρήσεις της μεθόδου. Πιο συγκεκριμένα, η ομαδοποίηση παρατηρήσεων, η ταξινόμηση παρατηρήσεων, η εύρεση ακραίων τιμών, η εύρεση σημαντικών και μη μεταβλητών και η εύρεση της περιόδου σε δεδομένα χρονοσειρών. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο, δίνονται τρεις εφαρμογές της μεθόδου των Καμπυλών Andrews. Αρχικά δίνεται η εφαρμογή σε μη ομαδοποιημένα δεδομένα, στη συνέχεια σε ομαδοποιημένα δεδομένα και τέλος σε δεδομένα χρονοσειρών. Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται επίσης και συμπεράσματα σχετικά με τα τρία σύνολα δεδομένων που χρησιμοποιούνται.