Προσεγγίσεις τύπου Tijms στο συλλογικό πρότυπο της θεωρίας κινδύνων

Abstract

Στην Αναλογιστική Επιστήμη , η Θεωρία Κινδύνου χρησιμοποιεί μαθηματικά μοντέλα για να περιγράψει τον κίνδυνο αφερεγγυότητας ή χρεοκοπίας του χαρτοφυλακίου ενός ασφαλιστή. Σε τέτοια μοντέλα, οι ποσότητες και τα μεγέθη που μας ενδιαφέρουν είναι η πιθανότητα χρεοκοπίας, η κατανομή του πλεονάσματος αμέσως πριν την χρεοκοπία και του ελλείμματος την στιγμή της χρεοκοπίας. Επίσης, ένα ακόμη μέγεθος που μας ενδιαφέρει είναι η συνάρτηση Gerber-Shiu ή αλλιώς αναμενόμενη συνάρτηση προεξοφλημένης ποινής που μελετάει την από κοινού συμπεριφορά των παραπάνω μεγεθών λαμβάνοντας υπόψιν και τον προεξοφλητικό παράγοντα καθώς επίσης και ο μετασχηματισμός Laplace του χρόνου χρεοκοπίας. Στις περισσότερες περιπτώσεις ενός χαρτοφυλακίου ζημιών, η εύρεση της ακριβούς πιθανότητας χρεοκοπίας είναι εφικτή μόνο σε λίγες περιπτώσεις κατανομών που όμως στην πραγματικότητα δεν συναντάμε. Για όλα τα παραπάνω, είναι σημαντική η εύρεση προσεγγιστικών τιμών στην περίπτωση όπου ο ακριβής υπολογισμός των παραπάνω πιθανοτήτων δεν είναι εφικτός. Δεδομένου ότι το άθροισμα των κλιμακωτών υψών ακολουθεί μια σύνθετη γεωμετρική κατανομή, είναι εφικτή η προσέγγιση της ουράς μιας σύνθετης γεωμετρικής κατανομής χρησιμοποιώντας έναν συνδυασμό δύο εκθετικών κατανομών με την κατάλληλη επιλογή παραμέτρων όπως προτάθηκε από τον Tijms το 1986. Τέλος, θα γίνει εκτενής αναφορά στο μοντέλο διάχυσης και θα μελετήσουμε ξεχωριστά την πιθανότητα χρεοκοπίας που οφείλεται στον στοχαστικό παράγοντα , δηλαδή σε περιπτώσεις όπου έχουμε π.χ. μεταβολές επιτοκίων , καθώς και την συνολική πιθανότητα χρεοκοπίας και θα βρούμε αντίστοιχες προσεγγίσεις τύπου Tijms.