Εκθετικές ανισότητες για πιθανότητες χρεοκοπίας διαδικασιών κινδύνου με όρο διάχυσης

Abstract

Το κλασσικό μοντέλο της Θεωρίας συλλογικών κινδύνων έχει επεκταθεί από τον Gerber με την πρόσθεση μιας διαδικασίας διάχυσης στη σύνθετη διαδικασία Poisson. Η μελέτη αυτού του μοντέλου έγινε αρχικά από τους Dufresne & Gerber το 1991. Αποδεικνύεται ότι οι πιθανότητες χρεοκοπίας ικανοποιούν συγκεκριμένες ανανεωτικές εξισώσεις. Αποδεικνύεται επίσης ο τύπος της συνέλιξης και μία ανισότητα Lundberg για την πιθανότητα χρεοκοπίας με ένα παρόμοιο τρόπο όπως στην κλασσική περίπτωση. Στη συνέχεια μελετάται η κατασκευή μίας κλάσης διαδικασιών διάχυσης που ακολουθούν τοπικά ένα διανυσματικό πεδίο και υπολογίζεται ο επεκταμένος γεννήτορας για ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού του γεννήτορα. Με την χρήση αυτής της θεωρίας κατασκευάζονται martingales για μία διαδικασία κινδύνου με όρο διάχυσης. Αυτό μας οδηγεί σε εκθετικά φράγματα για την πιθανότητα χρεοκοπίας σε άπειρο όπως και σε πεπερασμένο χρόνο.