Η κατανομή Lindley και οι εφαρμογές της στον αναλογισμό

Abstract

Στην διπλωματική εργασία που θα ακολουθήσει, εξετάζουμε την κατανομή Lindley και κάποιες παραλλαγές της. Η κατανομή Lindley εισήχθη από τον Lindley (1958, 1965) και πρόκειται για κατανομή που προέρχεται από την οικογένεια των Εκθετικών κατανομών. Στο Κεφάλαιο 1, γίνεται η γνωριμία με την απλή μορφή της κατανομής (συνάρτηση πυκνότητας, κλπ.) ενώ γίνεται σύγκριση με την εκθετική κατανομή ως προς την εκτίμηση της παραμέτρου θ αλλά και της προσαρμογής των κατανομών σε τυχαία δεδομένα. Τα αποτελέσματα δείχνουν ξεκάθαρα την καλύτερη προσαρμογή της Lindley κατανομής έναντι της εκθετικής. Στο Κεφάλαιο 2, εξετάζεται το μοντέλο των πολλαπλών αιτιών εξόδου που εφαρμόζεται στην Αναλογιστική επιστήμη. Δίχως εξαίρεση της γενικότητας, θα δούμε τη συμπεριφορά της Lindley κατανομής στο μοντέλο με 2 αίτια εξόδου και θα επιχειρήσουμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους αυτής. Στο Κεφάλαιο 3, θα εξετάσουμε τη μορφή και τα χαρακτηριστικά στοιχεία της Γενικευμένης Lindley κατανομής με τρεις παραμέτρους (GL), η οποία παρουσιάζει μεγαλύτερη ευελιξία σε σχέση με την Lindley(θ) (Zakerzadeh (2009)). Ειδικές περιπτώσεις της GL αποτελεί η εκθετική και η γάμμα κατανομή. Μέσω ενός αλγορίθμου παραγωγής τυχαίων δειγμάτων, θα δούμε δύο παραδείγματα με διαφορετικά δεδομένα στα οποία η GL έχει καλύτερη προσαρμογή από την γάμμα, την Weibull και την Lognormal κατανομή. Τέλος, στο Κεφάλαιο 4 γίνεται η παρουσίαση μίας νέας γενικευμένης Poisson-Lindley κατανομής, η οποία πηγάζει από την Poisson κατανομή όταν η παράμετρος λ ακολουθεί τη Lindley κατανομή με δύο παραμέτρους την οποία συμβολίζουμε TPLD(θ,a) (Shanker (2013)). Η ανάγκη για τη δημιουργία ενός τέτοιου μοντέλου προκύπτει από την ασφαλιστική αγορά και για τον υπολογισμό των ασφαλίστρων, όπου υιοθετείται μία κατανομή για τη ζημία η οποία μπορεί να επαληθευθεί ή όχι. Συγκεκριμένα, πέρα από την ελαχιστοποίηση της απόκλισης από τα πραγματικά δεδομένα, η νέα αυτή κατανομή μπορεί να περιγράψει τις ακραίες τιμές («βαριά ουρά») (Shanker (2013)). Γίνεται αναφορά στην συνάρτηση κατανομής και σε χαρακτηριστικά στοιχεία της όπως το σχήμα, η λοξότητα και η κύρτωση ενώ γίνεται σύγκριση με άλλες κατανομές ως προς την εφαρμογή τους. Τα αποτελέσματα δείχνουν την καλύτερη προσαρμογή της NGPL(θ,a) συγκριτικά με άλλες ευρέως χρησιμοποιούμενες κατανομές στην Αναλογιστική επιστήμη.