Μεικτές σύνθετες κατανομές Poisson

Abstract

Οι μεικτές σύνθετες κατανομές Poisson χρησιμοποιούνται σε ένα ευρύ φάσμα επιστημονικών πεδίων για μοντελοποίηση μη ομογενών πληθυσμών. Στην εργασία αυτή μελετούνται αποτελέσματα σχετικά με τις μεικτές σύνθετες κατανομές Poisson που συχνά έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες για μοντελοποίηση συχνότητας απαιτήσεων και παρέχουν ενδιαφέρουσες αναλογιστικές εφαρμογές. Για παράδειγμα έχουν συχνά παχιές ουρές που είναι χρήσιμες για δεδομένα με μακριές ουρές. Επιλέγονται δομικές κατανομές μείξης όπως π.χ. η (γενικευμένη) Γάμμα, η (γενικευμένη) Βήτα, γενικευμένη αντίστροφη Γκαουσιανή, και υπολογίζονται αναλυτικά οι συναρτήσεις πιθανότητας της κατανομής των (συνολικών) απαιτήσεων. Επίσης παρουσιάζονται χαρακτηρισμοί μεικτών κατανομών Poisson μέσω της απόλυτης μονοτονίας της πιθανογεννήτριας συνάρτησης και της αραίωσης. Αποδεικνύεται, ότι η συνάρτηση πιθανότητας μιας μεικτής σύνθετης κατανομής Poisson μπορεί να προσδιοριστεί ακριβώς μόνο σε εξαιρετικές περιπτώσεις. Ωστόσο, σημαντικές κατανομές αριθμού απαιτήσεων μπορούν να χαρακτηριστούν μέσω της αναδρομής Panjer. Επίσης αποδεικνύονται αναδρομικοί τύποι για τη συνάρτηση κατανομής και τις ροπές των συνολικών απαιτήσεων, όταν οι κατανομές μεγέθους απαιτήσεων είναι διακριτές ή συνεχείς. Οι αναδρο- μικοί τύποι παρέχουν κατάλληλες αριθμητικές προσεγγίσεις της συνάρτησης κατανομής των συνολικών απαιτήσεων. Τέλος δίνονται λεπτομερείς αποδείξεις μιας επέκτασης της αναδρομής Panjer που οφείλεται στους K.Th. Hess, A. Liewald and K.D. Schmidt [36] και έχει εφαρμογές στις οικογένειες κατανομών Hofmann και στα χαρτοφυλάκια κινδύνων που υπόκεινται σε αντασφάλιση καταστροφικών υπερβολικών ζημιών.