Σύγκριση συστημάτων αξιοπιστίας με ανταλλάξιμες μονάδες

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως θέμα τη σύγκριση μονότονων συστημάτων αξιοπιστίας που απαρτίζονται από ανταλλάξιμες μονάδες. Παρόλο που το μεγαλύτερο κομμάτι της έρευνας αφορά συστήματα που αποτελούνται από ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές, η ύπαρξη στοχαστικής εξάρτησης μεταξύ των χρόνων ζωής των μονάδων αποτελεί πιο ρεαλιστική υπόθεση. Αυτός είναι και ο λόγος που τα τελευταία χρόνια όλο και περισσότερες έρευνες έχουν θέμα τη μελέτη συστημάτων στα οποία υπάρχει εξάρτηση μεταξύ των μονάδων του. Κυρίαρχη έννοια για αυτή τη μελέτη αποτελεί η υπογραφή ενός συστήματος, με τη χρήση της οποίας ο υπολογισμός της αξιοπιστίας τέτοιων συστημάτων παύει να είναι δύσκολη υπόθεση. Στο πρώτο κεφάλαιο ο αναγνώστης εισάγεται στην έννοια της αξιοπιστίας ενός συστήματος. Κάνοντας μια αναδρομή στο παρελθόν, σημειώνεται η εξέλιξη που παρατηρήθηκε στη θεώρηση αυτής της έννοιας καθώς και η σημασία της στατιστικής στον υπολογισμό της αξιοπιστίας ενός συστήματος. Συγκεκριμένα, γίνεται μια αναφορά στις διατεταγμένες παρατηρήσεις οι οποίες αποτελούν απαραίτητο εργαλείο για τον υπολογισμό στατιστικών συναρτήσεων που είναι χρήσιμες σε τομείς όπως η αξιοπιστία συστημάτων και ο έλεγχος ποιότητας. Στο τέλος του κεφαλαίου σημειώνεται η έννοια της υπογραφής, με τη βοήθεια της οποίας είναι δυνατή η εύρεση της συνάρτησης αξιοπιστίας ενός συστήματος που αποτελείται από ανταλλάξιμες μονάδες. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια των ανταλλάξιμων τυχαίων μεταβλητών. Αρχικά δίνεται ο ορισμός μιας πεπερασμένης/άπειρης ανταλλάξιμης ακολουθίας και το Θεώρημα De Finetti σύμφωνα με το οποίο οι άπειρες ακολουθίες ανταλλάξιμων τυχαίων μεταβλητών είναι υπό συνθήκη ανεξάρτητες και ισόνομες. Στη συνέχεια του κεφαλαίου δίνονται κάποιες στατιστικές συναρτήσεις που αφορούν τις διατεταγμένες παρατηρήσεις n ανταλλάξιμων τυχαίων μεταβλητών. Τέλος, γίνεται παρουσίαση της ακριβούς κατανομής στατιστικών συναρτήσεων που σχετίζονται με ροές επιτυχίας σε μια ανταλλάξιμη ακολουθία από δίτιμες δοκιμές. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της υπογραφής ενός μονότονου συστήματος αξιοπιστίας. Δίνονται τύποι για την αξιοπιστία των συστημάτων αυτών με τη βοήθεια της υπογραφής, αρχικά για την περίπτωση που αποτελούνται από ανεξάρτητες και ισόνομες μονάδες και στη συνέχεια για την περίπτωση που αποτελούνται από ανταλλάξιμες μονάδες. Στα πλαίσια της εργασίας, μελετάται η στοχαστική σύγκριση μεταξύ διαφόρων συστημάτων, η οποία γίνεται συγκρίνοντας τις υπογραφές αυτών. Για το σκοπό αυτό αναφέρονται τέσσερα είδη στοχαστικής διάταξης. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφέρεται το θέμα της διατήρησης των ιδιοτήτων φθοράς κατά το σχηματισμό μονότονων συστημάτων. Συγκεκριμένα, δίνονται κάποια αποτελέσματα που διευκρινίζουν πότε ένα σύστημα ανήκει στην κλάση 𝐼𝐹𝑅 ή 𝐷𝐹𝑅 καθώς και ορισμένες συνθήκες που βασίζονται στο διάνυσμα υπογραφής του συστήματος και εξετάζουν το ίδιο ερώτημα. Τέλος, διατυπώνονται κάποιες νέες πολυμεταβλητές έννοιες γήρανσης συστημάτων που αποτελούνται από ανταλλάξιμες μονάδες και οι ιδιότητες αυτών, εστιάζοντας στη διμεταβλητή περίπτωση.