Θεωρία χρεοκοπίας για στοχαστικές διαδικασίες πλεονάσματος υπό την ύπαρξη ενός κατωφλίου

Abstract

Η Αναλογιστική Επιστήμη χρησιμοποιεί μαθηματικά μοντέλα για να εκτιμήσει τη φερεγγυότητα ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου. Τέτοια μοντέλα χρεοκοπίας δίνουν τη δυνατότητα να μελετηθούν χαρακτηριστικές ποσότητες όπως η πιθανότητα και ο χρόνος χρεοκοπίας, το πλεόνασμα πριν τη χρεοκοπία και το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας. Στην παρούσα εργασία, θα παρουσιάσουμε αρχικά το κλασικό μοντέλο της Θεωρίας Κινδύνου και την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής των Gerber-Shiu. Στη συνέχεια, θα μελετήσουμε ένα μοντέλο με εξάρτηση ανάμεσα στα ύψη των απαιτήσεων και τους ενδιάμεσους χρόνους εμφάνισης αυτών, χρησιμοποιώντας μια τυχαία μεταβλητή που εκφράζει ένα κατώφλι στα ύψη των ζημιών. Τέλος, θα γενικεύσουμε με τη μελέτη ενός μοντέλου με ημι-Μαρκοβιανή δομή εξάρτησης. Συγκεκριμένα, το πρώτο κεφάλαιο, είναι μια σύντομη εισαγωγή για το τι θα μελετηθεί στη συνέχεια. Στο δεύτερο κεφάλαιο, αρχικά δίνονται κάποιες εισαγωγικές έννοιες μέσω των οποίων στη συνέχεια παρουσιάζουμε το κλασικό μοντέλο της Θεωρίας Κινδύνου και τη συνάρτηση των Gerber-Shiu. Μέσω των ολοκληρο-διαφορικών τους εξισώσεων και των μετασχηματισμών Laplace, παίρνουμε αποτελέσματα για τη συνάρτηση των Gerber-Shiu και τις πιθανότητες χρεοκοπίας και επιβίωσης. Τελικά, αποδεικνύεται η γενική λύση της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής μέσω δεξιάς ουράς σύνθετης γεωμετρικής κατανομής. Στο τρίτο κεφάλαιο, εξετάζουμε μια γενίκευση του κλασικού μοντέλου χρεοκοπίας όπου η κατανομή του ενδιάμεσου χρόνου μεταξύ δύο απαιτήσεων εξαρτάται από το ύψος της προηγούμενης απαίτησης. Στη συνέχεια, μελετάμε τη συνάρτηση των Gerber-Shiu και τις πιθανότητες χρεοκοπίας και επιβίωσης για το μοντέλο αυτό μέσω μετασχηματισμών Laplace. Επίσης, παρουσιάζεται η μελέτη κάποιων παρόμοιων μοντέλων με εξάρτηση και μέσω αριθμητικών παραδειγμάτων γίνεται σύγκριση με το μοντέλο με ανεξαρτησία. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο, εξετάζουμε ένα πιο γενικό μοντέλο με ημι-Μαρκοβιανή δομή εξάρτησης. Για το μοντέλο αυτό στη συνέχεια, γίνεται μελέτη της συνάρτησης των Gerber-Shiu, και παίρνουμε αναλυτικές εκφράσεις για το μετασχηματισμό Laplace και για την περίπτωση όπου έχουμε μηδενικό αρχικό αποθεματικό. Επιπλέον, εξετάζεται η ασυμπτωτική συμπεριφορά της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής για ύψη ζημιών που ακολουθούν κατανομές με ελαφριά ουρά, και δείχνεται ένας τρόπος ώστε να εξάγουμε τις ροπές του χρόνου χρεοκοπίας, του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία και του ελλείμματος τη στιγμή της χρεοκοπίας. Τελικά δείχνουμε ότι αυτό το γενικό μοντέλο, περιέχει σαν ειδικές περιπτώσεις το κλασικό μοντέλο της σύνθετης Poisson, το ανανεωτικό μοντέλο με τους ενδιάμεσους χρόνους να ακολουθούν τη γενικευμένη Erlang (n) κατανομή, το ανανεωτικό μοντέλο με τους ενδιάμεσους χρόνους να ακολουθούν τη phase type κατανομή και το μοντέλο με εξάρτηση που περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο.