Στοχαστικές διαδικασίες πλεονάσματος με εξάρτηση και στρατηγικές μερισμάτων

Abstract

Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη διαφόρων μέτρων χρεοκοπίας και η κατανομή των καταβαλλόμενων μερισμάτων για στοχαστικές διαδικασίες πλεονάσματος με εξάρτηση μεταξύ των ενδιάμεσων χρόνων εμφάνισης των κινδύνων και των αντίστοιχων μεγεθών ατομικών ζημιών θεωρώντας παράλληλα και την ύπαρξη στρατηγικών μερισμάτων. Στην παρούσα εργασία θα εξεταστεί η δομή εξάρτησης μέσω της σύζευξης των Farlie-Gumbel-Morgenstern. Τότε, για κάθε μία από τις εξεταζόμενες περιπτώσεις και για τις αντίστοιχες τροποποιημένες στοχαστικές διαδικασίες πλεονάσματος θα μελετηθούν οι συναρτήσεις των Gerber-Shiu καθώς και τα αναμενόμενα μερίσματα που καταβάλλει η ασφαλιστική εταιρία μέχρι τη στιγμή της χρεοκοπίας. Αρχικά, στο Κεφάλαιο 1 δίνουμε μία λεπτομερή περιγραφή του κλασσικού μοντέλου της θεωρίας κινδύνων και παρουσιάζουμε κάποια σημαντικά αποτελέσματα για τη συνάρτηση των Gerber-Shiu για το προαναφερόμενο μοντέλο. Επίσης, στη συνέχεια του ίδιου κεφαλαίου δίνεται αναλυτική περιγραφή του γενικευμένου Erlang ανανεωτικού μοντέλου κινδύνου, του οποίου ειδική περίπτωση αποτελεί το κλασσικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνων. Στο Κεφάλαιο 2 εισάγουμε μία στρατηγική σταθερού μερίσματος και παρουσιάζουμε αναλυτικά αποτελέσματα για τη συνάρτηση των Gerber-Shiu και των ροπών των προεξοφλημένων μερισμάτων κάτω από την ύπαρξη της προαναφερόμενης στρατηγικής τόσο στη περίπτωση του κλασσικού μοντέλου όσο και στην περίπτωση του γενικευμένου Erlang ανανεωτικού μοντέλου της θεωρίας κινδύνων. Στο Κεφάλαιο 3 εξετάζουμε την περίπτωση του ανανεωτικού μοντέλου της θεωρίας κινδύνων με εξάρτηση μέσω της σύζευξης των Farlie-Gumbel-Morgenstern. Υποθέτουμε ότι οι ενδιάμεσοι χρόνοι άφιξης των απαιτήσεων ακολουθούν την κατατομή Erlang(n). Αρχικά ορίζουμε τη δομή εξάρτησης και στη συνέχεια γίνεται λεπτομερής ανάλυση της συνάρτησης των Gerber-Shiu όταν το αρχικό αποθεματικό είναι μηδέν. Αποδεικνύεται στη συνέχεια ότι η συνάρτηση των Gerber-Shiu ικανοποιεί μία ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση και δίνεται η λύση της. Στη συνέχεια, για εκθετικά κατανεμημένες απαιτήσεις δίνονται αναλυτικές εκφράσεις και αριθμητικά παραδείγματα για την πιθανότητα χρεοκοπίας και το μετασχηματισμό Laplace του χρόνου χρεοκοπίας. Στο Κεφάλαιο 4 θεωρούμε την περίπτωση του ανανεωτικού μοντέλου της θεωρίας κινδύνων όπου η από κοινού κατανομή των ενδιάμεσων χρόνων και των μεγεθών των απαιτήσεων εμφανίζει εξάρτηση μέσω της σύζευξης των Farlie-Gumbel-Morgenstern και οι ενδιάμεσοι χρόνοι ακολουθούν την Erlang(n) κατανομή υπό την ύπαρξη στρατηγικής σταθερού μερίσματος. Στο κεφάλαιο αυτό δείχνουμε ότι η συνάρτηση των Gerber-Shiu ικανοποιεί μία ολοκληρο-διαφορική εξίσωση και δίνονται οι αντίστοιχες οριακές συνθήκες. Στη συνέχεια, δείχνουμε ότι η λύση της μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα της προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής των Gerber-Shiu για το ίδιο μοντέλο κινδύνου απουσία στρατηγικής μερίσματος και ενός γραμμικού συνδυασμού από πεπερασμένες το πλήθος γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της αντίστοιχης ομογενούς ολοκληρο-διαφορικής εξίσωσης, η οποία υπολογίζεται με τη βοήθεια μετασχηματισμών Laplace. Επίσης, παίρνουμε μία ομογενή ολοκληρο-διαφορική εξίσωση με οριακές συνθήκες για τις αναμενόμενες προεξοφλημένες πληρωμές μερισμάτων πριν τη χρεοκοπία και αποδεικνύεται ότι η λύση της μπορεί να εκφραστεί ως ένας διαφορετικός γραμμικός συνδυασμός του ίδιου πεπερασμένου πλήθους από γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της ομογενούς ολοκληρο-διαφορικής εξίσωσης που σχετίζεται με την προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής των Gerber-Shiu. Τέλος, δίνονται αναλυτικές εκφράσεις των παραπάνω αποτελεσμάτων για εκθετικά κατανεμημένες απαιτήσεις.