Αποτίμηση δικαιωμάτων μέσω της ανέλιξης Variance - Gamma

Abstract

Το υπόδειγμα των Black and Scholes έθεσε το θεωρητικό πλαίσιο εντός του οποίου κατέστη εφικτή η συστηματική τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης, με τον αντίστοιχο τύπο να αποτελεί σημείο αναφοράς στη σύγχρονη χρηματοοικονομική πρακτική. Ωστόσο, οι γνωστές εμπειρικές ασυμβατότητες του υποδείγματος, όπως η υπόθεση της κανονικότητας των λογαριθμικών αποδόσεων των αξιογράφων και της σταθερής μεταβλητότητας, ανέδειξαν την ανάγκη ενσωμάτωσης πρόσθετης πολυπλοκότητας για τη μοντελοποίηση της υποκείμενης διαδικασίας. Μια κατεύθυνση προς την υπέρβαση των εν λόγω περιορισμών του υποδείγματος αφορά τη μελέτη υποδειγμάτων που εισάγουν μια αλματική συνιστώσα στη δυναμική των τιμών, όπως είναι εκείνα των καθαρά αλματικών διαδικασιών. Οι καθαρά αλματικές διαδικασίες συνιστούν μέλος της κλάσης των διαδικασιών Lévy, με την ιδιότητα ότι οι διαδρομές τους διαμορφώνονται αποκλειστικά μέσω αλμάτων, χωρίς την παρουσία συνιστώσας διάχυσης. Στο πλαίσιο αυτό, η διαδικασία Variance-Gamma, ως χαρακτηριστικό παράδειγμα της κλάσης των προαναφερθέντων διαδικασιών, προκύπτει ως γενίκευση του κλασικού μοντέλου διάχυσης της κίνησης Brown. Συγκεκριμένα, κατασκευάζεται με αντικατάσταση του χρονικού δεικτοσυνόλου της κίνησης Brown με μια διαδικασία γάμμα. Με τον τρόπο αυτό εισάγεται η έννοια του "οικονομικού χρόνου", η οποία αποτυπώνει την ιδέα ότι ο ρυθμός εξέλιξης της πληροφορίας στις αγορές δεν καθορίζεται από ντετερμινιστικά χρονικά διαστήματα, αλλά από στοχαστικούς μηχανισμούς. Με τον τρόπο αυτό, καθίσταται εφικτή η μοντελοποίηση διαφορετικών επιπέδων μεταβλητότητας του υποκείμενου τίτλου σε διαφορετικές χρονικές στιγμές του οικονομικού χρονικού δείκτη, καθιστώντας το προτεινόμενο υπόδειγμα καταλληλότερο να προσαρμόζεται στην μεταβαλλόμενη ένταση με την οποία πραγματοποιείται η διαδοχή πληροφορίας στις εκάστοτε συνθήκες της αγοράς. Το υπόδειγμα εισάγει δύο επιπλέον παραμέτρους οι οποίες ρυθμίζουν την ασυμμετρία και την κύρτωση της κατανομής των αποδόσεων, αποτυπώνοντας πιο σύνθετα χαρακτηριστικά της δυναμικής του υποκείμενου τίτλου. Τεχνικές αποτίμησης που βασίζονται τόσο στον αναλυτικό τύπο όσο και στον μετασχηματισμό Esscher εφαρμόστηκαν με στόχο τον υπολογισμό της αξίας του παραγώγου SPX. Τα εμπειρικά αποτελέσματα καταδεικνύουν ότι το προτεινόμενο υπόδειγμα επιτυγχάνει βελτιωμένη προσαρμογή σε σχέση με το υπόδειγμα των Black and Scholes, το οποίο αποτελεί ειδική περίπτωση του γενικότερου υποδείγματος που αναπτύσσεται στην παρούσα διπλωματική εργασία.