Στοχαστική μοντελοποίηση προβλημάτων συνοριακών τιμών για την εξίσωση Helmholtz και Navier

Abstract

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάμε προβλήματα συνοριακών τιμών, τόσο στην περιοχή της ακουστικής όσο και στην περιοχή της ελαστικότητας. Αρχικά παρουσιάζουμε το κατάλληλο μαθηματικό πλαίσιο και τις βασικές μαθηματικές έννοιες που αφορούν τις εξισώσεις Helmholtz και Navier. Έπειτα, αναφέρουμε τα προβλήματα συνοριακών τιμών τόσο για την εξίσωση της ακουστικής όσο και της ελαστικότητας τα οποία αυτά μοντελοποιούν το πρόβλημα σκέδασης επίπεδου δυαδικού κύματος στις τρεις διαστάσεις για την περίπτωση της γραμμικής ελαστικότητας και την σύνδεσή του με την θεωρία χαμηλών συχνοτήτων. Στη συνέχεια μοντελοποιούμε τις εξισώσεις Helmholtz και Navier σε στοχαστικό περιβάλλον. Στην στοχαστική εξίσωση Helmholtz μελετάμε αρχικά το πρόβλημα όπου το βαθμωτό πεδίο, η πηγή και η συνοριακή συνθήκη είναι τυχαίες μεταβλητές και στην συνέχεια αναπτύσουμε το πρόβλημα όπου μόνο το κυματικό πεδίο και η πηγή είναι στοχαστικές μεταβλητές, ενώ το βαθμωτό πεδίο είναι ίσο με το μηδέν στο σύνορο. Αντίστοιχα για την εξίσωση Navier θεωρούμε μόνο το διανυσματικό πεδίο και το δεξιό μέλος της εξίσωσης του προβλήματος, ως τυχαίες μεταβλητές ενώ η συνοριακή συνθήκη είναι τύπου Dirichlet.

Στο στοχαστικό πρόβλημα της ακουστικής το κυματικό πεδίο, η πηγή του προβλήματος αλλά και τα συνοριακά δεδομένα εκφράζονται ως ανάπτυγμα Wiener chaos. Ειδικότερα, παραθέτουμε την κατάλληλη στοχαστική μεταβολική μορφή του προβλήματος και μετατρέπουμε το στοχαστικό μας πρόβλημα σε μια άπειρη ιεραρχία ντετερμινιστικών προβλημάτων, όπου για το καθένα ντετερμινιστικό πρόβλημα διατυπώνουμε την μεταβολική του μορφή. Στην συνέχεια αποδεικνύουμε την καλή τοποθέτησή τους και παρουσιάζουμε τον κύριο σκοπό της διατριβής μας που είναι η σύνδεση των ντετερμινιστικών προβλημάτων που προέκυψαν με το αρχικό στοχαστικό πρόβλημα και η απόδειξη της ύπαρξης και μοναδικότητας της σταθμισμένης στοχαστικής λύσης Wiener chaos.

Τέλος, για την περίπτωση του στοχαστικού προβλήματος της γραμμικής ελαστικότητας, εφαρμόζουμε την ίδια μεθοδολογία όπου μόνο το κυματικό πεδίο και η πηγή του προβλήματος είναι αναπτύγματα Wiener chaos. Δηλαδή, αναδιατυπώνουμε το στοχαστικό πρόβλημα σε μια άπειρη ιεραρχία ντετερμινιστικών προβλημάτων και θεμελιώνουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της σταθμισμένης στοχαστικής λύσης. Για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις των στοχαστικών προβλημάτων παραθέτουμε σημαντικά συμπεράσματα που υποστηρίζουν την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθόδου. Επίσης τονίζουμε κάποιες παρατηρήσεις που αποτελούν τροφή για σκέψη, και θα αποτελέσουν την ερευνητική μας βάση για μελλοντικές ερευνητικές εργασίες.

Η διδακτορική διατριβή διαρθρώνεται ως εξής: στο 1o Κεφάλαιο αναφέρουμε την μαθηματική θεωρία που αφορά τα ακουστικά και ελαστικά κύματα και παρουσιάζουμε αναλυτικά τις εξισώσεις Helmholtz και Navier αποδεικνύοντας τις θεμελιώδεις λύσεις τους. Στο δεύτερο Κεφάλαιο εισάγουμε τον αναγνώστη στις βασικές μαθηματικές έννοιες που διέπουν τα προβλήματα συνοριακών τιμών και τα προβλήματα σκέδασης, παρουσιάζοντας αναλυτικά την σκέδασης δυαδικού κύματος στις 3-διαστάσεις για την περίπτωση της γραμμικής ελαστικότητας. Δίνονται αναλυτικοί τύποι για την συνολική διατομή σκέδασης και της σύνδεσής της με την θεωρία χαμηλών συχνοτήτων. Επίσης γίνεται εισαγωγή στα προβήματα συνοριακών τιμών σε στοχαστικό περιβάλλον παρουσιάζοντας αναλυτικά την μαθηματική θεωρία που αφορά τα αναπτύγματα Wiener chaos, τα στοχαστικά πολυώνυμα Hermite και την κατασκευή του σταθμισμένου Wiener chaos χώρου τα οποία μας χρειάζονται για τις στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις των προβλημάτων μας. Στο 3ο Κεφάλαιο διατυπώνουμε τα στοχαστικά προβλήματα που αφορούν την εξίσωση Helmholtz και θεμελιώνουμε την καλή τοποθέτηση της στοχαστικής λύσης. Τέλος, στο 4o Κεφάλαιο αποδεικνύουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της σταθμισμένης στοχαστικής λύσης για το στοχαστικό πρόβλημα της εξίσωσης Navier και παράλληλα παραθέτουμε ερευνητικά συμπεράσματα, παρατηρήσεις και χρήσιμα σχόλια για μελλοντική έρευνα.