Χρόνοι διακοπής με εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά και την διαχείριση κινδύνων

Abstract

Ως αντικείμενο μελέτης, οι στοχαστικές ανελίξεις ανήκουν στο ευρύτερο φάσμα της θεωρίας πιθανοτήτων και χρησιμοποιούνται ως μαθηματική μοντελοποίηση φαινομένων τα οποία εξελίσσονται στον χρόνο. Γι’ αυτό το λόγο, αποτελούν κυρίαρχο ρόλο στην μοντελοποίηση προβλημάτων που αφορούν τον κλάδο των χρηματοοικονομικών, τη διαχείριση κινδύνων καθώς και άλλων ακόμα όπως τη φυσική, τη μετεωρολογία, τη βιολογία και ακολουθιακή ανάλυση. Ο βασικός διαχωρισμός τους αφορά τον χρόνο παρατήρησης του στοχαστικού φαινομένου ο οποίος συνήθως γίνεται σε διακριτό και συνεχή χρόνο. Ανάμεσα στις πιο διαδεδομένες ανελίξεις διακριτού χρόνου είναι ο τυχαίος περίπατος ενώ σε συνεχή χρόνο ξεχωρίζουν: η ανέλιξη Poisson, η κίνηση Brown ή αλλιώς ανέλιξη Wiener που υπάγονται στην ευρύτερη οικογένεια των ανελίξεων Lévy. Οι προαναφερθείσες ανελίξεις αποτελούν το επίκεντρο μελέτης της παρούσας διδακτορικής διατριβής προσανατολίζοντας την εφαρμογή τους στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση κινδύνων. Μια πολύ σημαντική έννοια, που σχετίζεται με την διαδρομή μια ανέλιξης, είναι αυτή του χρόνου διακοπής. Ο χρόνος διακοπής είναι μια τυχαία μεταβλητή με ακέραιες ή συνεχείς τιμές ο οποίος προσδιορίζεται με βάση τη διαθέσιμη πληροφορία που παρέχεται από την πραγματοποίηση μιας στοχαστικής ανέλιξης. Συγκεκριμένα, σχετίζεται με την πρώτη χρονική στιγμή που η υπό μελέτη ανέλιξη ικανοποιεί μια συνθήκη. Αξίζει να αναφερθεί πως ο ρόλος του χρόνου διακοπής είναι καθοριστικός για πολλά από τα σημαντικότερα ευρήματα της θεωρίας της στοχαστικής ανάλυσης όπως είναι η έννοια της στοιχηματικής ανέλιξης (martingale) και το Θεώρημα Επιλεκτικής Διακοπής. Οι κυριότερες εφαρμογές που απασχολούν την παρούσα διδακτορική διατριβή είναι οι εξής: i) Στον αναλογισμό, ο χρόνος έως ότου η ανέλιξη πλεονάσματος μιας ασφαλιστικής εταιρίας υπερβεί κάποιο επίπεδο ασφαλείας ή πέσει κάτω από το μηδέν και αποτελεί αντικείμενο μελέτης της θεωρίας χρεοκοπίας. ii) Ο χρόνος που η χρηματιστηριακή τιμή ενός αξιογράφου υπερβεί ένα κατώφλι σηματοδοτώντας την εξάσκηση, την ενεργοποίηση ή απενεργοποίηση ενός συγκεκριμένου δικαιώματος προαίρεσης. Στο Κεφάλαιο 1, αρχικά γίνεται μια σύντομη αναφορά των στοχαστικών ανελίξεων διακριτού και συνεχούς χρόνου και παρουσιάζονται οι βασικότερες από αυτές, όπως η ανέλιξη Lévy και οι ανελίξεις martingale. Στη συνέχεια δίνεται ο ορισμός του χρόνου διακοπής και η αναφορά των κυριότερων αποτελεσμάτων που σχετίζονται με αυτόν. Κλείνοντας, γίνεται μια αναφορά σε τεχνικές αλλαγής μέτρου και πώς αυτές εφαρμόζονται στις στοχαστικές ανελίξεις. Στο Κεφάλαιο 2, παρουσιάζονται τα πιο γνωστά μοντέλα που περιγράφουν την ανέλιξη πλεονάσματος, όπως είναι το ανανεωτικό μοντέλο Sparre Andersen και το κλασικό μοντέλο εφοδιασμένο με διάχυση. Έπειτα γίνεται εισαγωγή στις κυριότερες έννοιες όπως η πιθανότητα χρεοκοπίας και η αναμενόμενη προεξοφλητική συνάρτηση ποινής Gerber-Shiu. Για κάθε ένα από τα παραπάνω μοντέλα αποδεικνύονται τρόποι υπολογισμού της συνάρτησης Gerber-Shiu, χρησιμοποιώντας την τεχνική της αλλαγής μέτρου. Αναλυτικοί τύποι παρουσιάζονται στην περίπτωση που οι αποζημιώσεις μοντελοποιούνται μέσω της εκθετικής κατανομής. Στο τέλος, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα με σκοπό την καλύτερη κατανόηση όσων αποτελεσμάτων σχολιάστηκαν σε αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο της θεωρίας χρεοκοπίας. Tο Κεφάλαιο 3 ξεκινά με αναφορά στην έννοια των γενικευμένων συναρτήσεων Gerber-Shiu και αφορά την περίπτωση που ο χρόνος διακοπής είναι η στιγμή χρεοκοπίας. Έπειτα προτείνεται ένας τρόπος που οδηγεί στην επέκταση κάθε υπάρχουσας γενικευμένης συνάρτησης Gerber-Shiu σε μια νέα συνάρτηση η οποία λαμβάνει υπόψιν της και τον αριθμό των αποζημιώσεων μέχρι τη χρεοκοπία. Το συγκεκριμένο αποτέλεσμα βασίζεται σε μια τεχνική αλλαγής μέτρου και εφαρμόζεται στην περίπτωση μελέτης του μοντέλου Sparre Andersen επιτρέποντας την παρουσία εξάρτησης μεταξύ των αποζημιώσεων και των ενδιάμεσων χρόνων διαδοχικών αποζημιώσεων. Για συγκεκριμένες υποθέσεις εξάρτησης, αναλυτικοί τύποι δίνονται μαζί με συναρτήσεις που απορρέουν από μια ειδική περίπτωση γενικευμένης συνάρτησης Gerber-Shiu. Κλείνοντας, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα των θεωρητικών αποτελεσμάτων που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο. Το Κεφάλαιο 4, αφορά την πιο γενική περίπτωση όπου το πλεόνασμα περιγράφεται μέσω μιας ανανεωτικής ανέλιξης διάχυσης με άλματα. Ο χρόνος διακοπής που μελετάται, είναι η στιγμή πρώτης εξόδου του πλεονάσματος από ένα διάστημα της μορφής [0,b], εισάγοντας την έννοια του ανώτατου ορίου b. Στο μοντέλο αυτό μια νέα μορφή γενικευμένης συνάρτησης τύπου Gerber-Shiu εισάγεται με το πλεόνασμα να επιθεωρείται επιλεκτικά σε χρονικές στιγμές αποζημιώσεων. Μια ειδική περίπτωση της προτεινόμενης συνάρτησης δίνει την δυνατότητα να μελετηθεί η από κοινού κατανομή του χρόνου, του αριθμού των αποζημιώσεων, του συνολικού πλεονάσματος και του συνολικού ποσού αποζημίωσης έως ότου το πλεόνασμα εξέλθει από το διάστημα [0,b]. Για αυτή τη συνάρτηση κλειστοί τύποι δίνονται υπό συγκεκριμένες κλάσεις κατανομών οι οποίες έχουν την ικανότητα να προσεγγίσουν οποιεσδήποτε θετικές κατανομές. Η εφαρμογή των θεωρητικών αποτελεσμάτων παρουσιάζεται μέσω αριθμητικών παραδειγμάτων στο τέλος του κεφαλαίου. Το Κεφάλαιο 5 είναι εισαγωγικό και παρουσιάζονται θεμελιώδεις έννοιες που σχετίζονται με τα παράγωγα χρηματοοικονομικά προϊόντα. Ειδικότερα, επικεντρώνεται σε γενική παρουσίαση των δημοφιλέστερων δικαιωμάτων προαίρεσης. Δύο περιπτώσεις ξεχωρίζουν μεταξύ αυτών και σχολιάζονται εκτενέστερα. Η πρώτη αφορά τα δικαιώματα προαίρεσης κατωφλίου (barrier option) στα οποία ο χρόνος διακοπής είναι ντετερμινιστικός. Για μια υποκατηγορία δικαιωμάτων κατωφλίου παρουσιάζεται ο τρόπος τιμολόγησής του, μέσω κατάλληλης τεχνικής αλλαγής μέτρου με τα κλασικά δικαιώματα Ευρωπαϊκού τύπου να προκύπτουν ως ειδική περίπτωση. Έπειτα, κλειστοί τύποι παρουσιάζονται στην περίπτωση της γεωμετρικής κίνησης Brown. Η δεύτερη περίπτωση δικαιωμάτων είναι αυτή των Αμερικανικού τύπου με δυνατότητα εξάσκησης στο διηνεκές όπου ο χρόνος διακοπής αποτελεί την στιγμή εξάσκησης του δικαιώματος από τον κάτοχο του. Αναλυτικά αποτελέσματα παρουσιάζονται μέσω αλλαγής μέτρου στην περίπτωση της γεωμετρικής κίνησης Brown. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με την παρουσίαση αριθμητικών παραδειγμάτων. Το Κεφάλαιο 6 αποτελεί το τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής στο οποίο μελετώνται τα δικαιώματα Αμερικανικού τύπου με δυνατότητα εξάσκησης στο διηνεκές. Σε αυτό το κεφάλαιο, μια από τις βασικότερες υποθέσεις συνεχούς επιθεώρησης της αξίας μιας μετοχής αντικαθίσταται από μια νέα και σε ορισμένες περιπτώσεις πιο ρεαλιστική, υπόθεση από αυτή της τυχαίας επιθεώρησης. Η υπόθεση αυτή γίνεται για να ερμηνεύσει καλύτερα τα μοντέλα συνεχούς χρόνου δίνοντας έμφαση στην αβεβαιότητα ορισμένου τύπου επενδυτών που ενεργούν σε τυχαίους χρόνους. Εφαρμόζοντας την ιδέα αυτή, μελετάται η περίπτωση μιας τυχαία επιθεωρημένης ανέλιξης διάχυσης με άλματα (Lévy). Χρησιμοποιώντας ως βασικό εργαλείο την τεχνική αλλαγής μέτρου, γίνεται τιμολόγηση του δικαιώματος βασιζόμενη σε μια βέλτιστη στιγμή εξάσκησης. Τα γενικά αποτελέσματα εφαρμόζονται στην περίπτωση της γεωμετρική κίνησης Brown καθώς και σε μια ανέλιξη διάχυσης με εκθετικά κατανεμημένα άνω και κάτω άλματα. Τέλος, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα σε αποτελέσματα που εξήχθησαν αναλυτικοί τύποι, δίνοντας έμφαση στην παράμετρο τυχαίας επιθεώρησης η οποία βασίζεται σε μία εξωγενή ανέλιξη Poisson.