Το σύνθετο λογαριθμοκανονικό-Παρέτο μοντέλο και οι εφαρμογές του στον αναλογισμό

Abstract

Η εργασία μελετά τις ιδιότητες και τις εφαρμογές του σύνθετου λογαριθμοκανονικού-Pareto μοντέλου, ως απάντηση στην ανάγκη μοντελοποίησης δεδομένων με συχνές μικρές ζημίες και σπάνιες πολύ μεγάλες. Το σύνθετο σχήμα προκύπτει από ομαλή σύνθεση λογαριθμοκανονικής πυκνότητας κάτω από ένα κατώφλι και κατανομής Pareto πάνω από αυτό, ώστε το «σώμα» να ακολουθεί λογαριθμοκανονική κατανομή και η ουρά να είναι βαρύτερη, αλλά ελαφρύτερη από την κλασική κατανομή Pareto. Παρουσιάζονται το θεωρητικό υπόβαθρο, το βασικό μοντέλο, και οι κύριες παραλλαγές του με έμφαση σε αναλογιστικές εφαρμογές. Προηγείται σύντομη ανασκόπηση της Pareto και της λογαριθμοκανονικής, ώστε να τεκμηριωθεί γιατί η πρώτη αποδίδει την ουρά, ενώ η δεύτερη προσαρμόζει καλύτερα το «σώμα» των ζημιών. Επισημαίνεται ότι η λογαριθμοκανονική υποεκτιμά ακραίες τιμές, ενώ η Pareto δεν περιγράφει ικανοποιητικά τις μικρές ή μεσαίες, γεγονός που οδηγεί στη σύνθεσή τους. Ακολούθως, παρουσιάζονται το μοντέλο των Cooray & Ananda (2005), οι παραλλαγές του Scollnik (2007), ένα περικομμένο παραμετροποιημένο σχήμα της Teodorescu (2010), και το μεικτό μοντέλο των Pigeon & Denuit (2010). Εξετάζονται επίσης και οι Bayesian εκτιμήσεις παραμέτρων των Cooray & Cheng (2013). Στο εμπειρικό μέρος, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα «Danish fire losses» (2.492 ζημίες σε εκατομμύρια δανέζικες κορώνες, έτη 1980-1990), εφαρμόζονται μέθοδοι εκτίμησης παραμέτρων και κριτήρια σύγκρισης των μοντέλων, εξετάζονται Q-Q διαγράμματα και συγκρίνονται θεωρητικά-εμπειρικά ποσοστημόρια. Τα αποτελέσματα επιβεβαιώνουν ότι τα σύνθετα μοντέλα υπερέχουν των κλασικών κατανομών, ενώ μεταξύ των παραλλαγών ορισμένες αποδίδουν καλύτερα στο σώμα και/ή στην ουρά, ανάλογα με το κριτήριο. Παρατίθενται πίνακες, σχήματα και λεπτομέρειες εφαρμογής, με τους σχετικούς υπολογισμούς και κώδικα στο παράρτημα. Τέλος, επισημαίνονται ευρύτερες εφαρμογές σε πεδία όπου οι ακραίες τιμές είναι κρίσιμες (ασφαλιστική/χρηματοοικονομική ανάλυση κινδύνου, τηλεπικοινωνίες, περιβάλλον, υγεία), αναδεικνύοντας τη χρησιμότητα του λογαριθμοκανονικού-Pareto μοντέλου ως ευέλικτου εργαλείου για βαριές ουρές.