Tο μοντέλο Bradley-Terry και οι επεκτάσεις του

Abstract

Το μοντέλο Bradley Terry αποτελεί ένα από τα πιο γνωστά πιθανοθεωρητικά μοντέλα με σημαντικές εφαρμογές στη Στατιστική και συγκεκριμένα στο πεδίο των συγκρίσεων. Παρουσιάστηκε από τους R.A. Bradley και M.E. Terry το 1952 ενώ το ίδιο μοντέλο είχε μελετηθεί και από τον Zermelo τη δεκαετία του 1920. Έκτοτε έχει γνωρίσει εφαρμογές σε πολλούς διαφορετικούς τομείς. Το μοντέλο αυτό στηρίζεται στη βάση των συγκρίσεων κατά ζεύγη μεταξύ οντοτήτων του ίδιου τύπου (pairwise comparisons). Ας υπογραμμιστεί πως με τον όρο «οντότητα» στη συνέχεια θα αναφερόμαστε, ανάλογα με το σενάριο που εξετάζεται, είτε σε διαγωνιζόμενα μεταξύ τους άτομα είτε ομάδες ατόμων. Ο ίδιος όρος μπορεί, ακόμα γενικότερα, να σηματοδοτεί συγκρινόμενες μεταξύ τους επιλογές ή αντικείμενα. Στο χώρο της έρευνας, τα δεδομένα από συγκρίσεις ανά δύο συχνά προκύπτουν από την καταγραφή προτιμήσεων, καθώς κάθε συμμετέχων δηλώνει ποια επιλογή θεωρεί προτιμότερη μεταξύ δυο εναλλακτικών. Σε άλλες περιπτώσεις, όπως λχ στο χώρο του αθλητισμού, τα δεδομένα των συγκρίσεων ανά δύο απαρτίζονται από τα καταγεγραμμένα αποτελέσματα των παρελθοντικών αναμετρήσεων μεταξύ δύο ανταγωνιζόμενων ατόμων/ομάδων. Ανεξάρτητα του πλαισίου της έρευνας, απώτερος σκοπό αποτελεί η αξιοποίηση των δεδομένων από τις συγκρίσεις ανά δύο ώστε να επιτευχθεί τελικά η εκτίμηση χαρακτηριστικών τιμών ικανότητας για κάθε οντότητα, οι οποίες αντικατοπτρίζουν το επίπεδο δυναμικότητάς τους. Το μοντέλο Bradley-Terry δίνει τη σχετική πιθανότητα επικράτησης μιας οντότητας έναντι μιας άλλης συναρτήσει αυτών των τιμών δυναμικότητας που χαρακτηρίζουν κάθε οντότητα η οποία ανήκει στο ευρύτερο σύνολο μελέτης. Μέσω του ίδιου μοντέλου μπορεί τελικά να στοιχειοθετηθεί μια πλήρης κατάταξη των οντοτήτων αυτών από την επικρατέστερη στην ασθενέστερη. Η εφαρμογή του μοντέλου Bradley-Terry στην ερευνητική εργασία μπορεί να προσφέρει σημαντική κατανόηση και ανάλυση σε συγκεκριμένα προβλήματα συγκρίσεων. Χαρακτηριστικά μπορεί να συμβάλλει στην αναγνώριση των παραγόντων που επηρεάζουν τις συγκρίσεις αλλά και στην πρόβλεψη αποτελεσμάτων. Για το λόγο αυτό αν και αρχικά αναπτύχθηκε για την αξιολόγηση αθλητών σε ατομικά αθλήματα, στη συνέχεια βρήκε εφαρμογή σε διάφορους τομείς όπως η αξιολόγηση προϊόντων, η κατάταξη ιστοσελίδων, η ανάλυση κοινωνικών δικτύων, η πρόβλεψη αποτελεσμάτων πολιτικών εκλογών κ.α. Η παρούσα διπλωματική διατριβή με θέμα «Το μοντέλο Bradley Terry και οι επεκτάσεις του» έχει στόχο: 1. Αρχικά να αναπτύξει το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο και να παρουσιάσει τη βασική εκδοχή του μοντέλου Bradley Terry αναδεικνύοντας τη σημασία του στην ανάλυση συγκριτικών δεδομένων. 2. Να παρουσιάσει ορισμένες από τις βασικότερες προεκτάσεις του αρχικού μοντέλου, που αναπτύχθηκαν με σκοπό την προσαρμογή του σε ποικίλα ρεαλιστικά σενάρια για τα οποία απαιτούνται πρόσθετες υποθέσεις. 3. Να αναπτύξει και να παρουσιάσει σχετικές εφαρμογές των μοντέλων που μελετήθηκαν. 4. Τέλος, να εξάγει χρήσιμα συμπεράσματα από αυτά.