Ευθέα και αντίστροφα προβλήματα σκέδασης ελαστικών κυμάτων σε ομογενές κατά τμήματα μέσο

Abstract

Σε αυτήν τη διατριβή μελετούμε προβλήματα συνοριακών τιμών που αφορούν την εξίσωση Navier τόσο σε ντετερμινιστικό όσο και σε στοχαστικό περιβάλλον. Αρχικά, επικεντρωνόμαστε σε πρόβλημα συνοριακών τιμών που μαθηματικά μοντελοποιεί ένα ευθύ πρόβλημα σκέδασης στη γραμμική ελαστικότητα θεωρώντας χρονική αρμονική εξάρτηση, που αφορά σε ένα εμπόδιο με τμηματική εμπέδηση. Ειδικότερα, λαμβάνουμε υπόψη έναν σκεδαστή που βρίσκεται σε ένα ομογενές μέσο με σύνορο κατά τμήματα επικαλυμμένο, με διαφορετικές σταθερές εμπέδησης στο κάθε τμήμα. Η μοναδικότητα της λύσης θεμελιώνεται μέσω της μεταβολικής διατύπωσης του προβλήματος, ενώ η ύπαρξη της λύσης αποδεικνύεται με τη μέθοδο ολοκληρωτικών συνοριακών εξισώσεων. Αξίζει να σημειώσουμε ότι η προσέγγισή μας βασίζεται στο να αναπαρασταθεί η λύση ως γραμμικός συνδυασμός δυναμικών απλού και διπλού στρώματος, αποδεικνύοντας την ύπαρξη λύσης καθώς και ένα βασικό αποτέλεσμα ευστάθειας. Επιπλέον, παρέχονται σημαντικές παρατηρήσεις και συμπεράσματα για να ενισχυθεί η κατανόηση του προβλήματος. Στη συνέχεια, ασχολούμαστε με το ευθύ και το αντίστροφο πρόβλημα σκέδασης χρονικά αρμονικών ελαστικών κυμάτων από ένα μη ομογενές μέσο που περιέχει θαμμένα αντικείμενα-σκεδαστές. Αρχικά, θεμελιώνουμε την καλή−τοποθέτηση του ευθέος προβλήματος μέσω μιας τροποποιημένης μεταβολικής μεθόδου σε κατάλληλους συναρτησιακούς χώρους Sobolev. Αποδεικνύουμε τη μοναδικότητα, την ύπαρξη και τη συνεχή εξάρτηση της λύσης από τα δεδομένα στο σύνορο των θαμμένων αντικειμένων (σκεδαστών). Έπειτα, θεωρούμε το αντίστοιχο αντίστροφο πρόβλημα σκέδασης και χρησιμοποιώντας κατάλληλη τροποποιημένη μέθοδο παραγοντοποίησης (modified factorization method) δίνουμε αποτελέσματα για την ανακατασκευή του σχήματος και τον εντοπισμό των στρωμάτων του μη ομογενούς μέσου. Η μελέτη μας περιλαμβάνει ακόμη σχετικές παρατηρήσεις και συμπεράσματα, εστιάζοντας στη σύνδεση μεταξύ του ευθέος προβλήματος σκέδασης και του αντίστοιχου αντιστρόφου σε ελαστικά μέσα. Στη συνέχεια της διδακτορικής διατριβής, μελετούμε δύο στοχαστικά προβλήματα συνοριακών τιμών που προκύπτουν στη γραμμική ελαστικότητα χρησιμοποιώντας αναπτύγματα Wiener chaos, ώστε να καταδειχθεί η εφαρμοσιμότητα της μεθόδου αυτής και σε μελλοντική εργασία να μελετηθεί στοχαστικό πρόβλημα σκέδασης σε ομογενές κατά τμήματα μέσο. Ειδικότερα, θεμελιώνουμε κατάλληλη μεταβολική διατύπωση προβλήματος για την εξίσωση Navier, με τα συνοριακά δεδομένα να εκφράζονται ως ανάπτυγμα Wiener chaos. Η βασική ιδέα είναι να ανάγουμε το στοχαστικό πρόβλημα σε μια άπειρη ιεραρχία ντετερμινιστικών συνοριακών προβλημάτων, όπου χειριζόμαστε κάθε πρόβλημα της ιεραρχίας με την κατάλληλη μεταβολική του διατύπωση. Θεμελιώνουμε την καλή τοποθέτηση για κάθε ένα πρόβλημα από την ιεραρχία αυτή, παρουσιάζουμε τη σύνδεση με το στοχαστικό πρόβλημα και διατυπώνουμε επιχειρήματα μοναδικότητας και ύπαρξης για τη λύση ως σταθμισμένο ανάπτυγμα Wiener chaos (weighted Wiener chaos expansion). Τέλος, εφαρμόζουμε την ίδια μεθοδολογία, δηλαδή αυτή της αναγωγής σε μια άπειρη ιεραρχία ντετερμινιστικών προβλημάτων, σε ένα στοχαστικό πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη μη ομογενή εξίσωση Navier, όπου τόσο το δεύτερο μέλος της εξίσωσης όσο και τα συνοριακά δεδομένα εκφράζονται υπό μορφή αναπτύγματος Wiener chaos. Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, περιλαμβάνονται σημαντικές παρατηρήσεις και συμπεράσματα αναδεικνύοντας τη χρησιμότητα της μεθόδου.