Ανάλυση των αναμενόμενων προεξοφλημένων συναρτήσεων ποινής των Gerber-Shiu για το ανανεωτικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνου

Abstract

Σε έναν ασφαλιστικό οργανισμό, όπου οι υπηρεσίες που παρέχει είναι οι καλύψεις έναντι κινδύνων υπάρχουν δυο πλευρές που απαρτίζουν την έννοια της ασφαλιστικής κάλυψης. Η μια πλευρά αφορά τα έσοδα του οργανισμού, δηλαδή τα ασφάλιστρα, ενώ η άλλη αφορά τα έξοδα, δηλαδή την παροχή αποζημιώσεων. Για την ομαλή λειτουργία του οργανισμού, θα πρέπει τα έσοδα να επαρκούν ώστε να καλύπτονται τα έξοδα, διότι το αντίθετο σημαίνει αθέτηση των υποχρεώσεων του οργανισμού, δηλαδή ανικανότητα παροχής αποζημιώσεων. Η αναλογιστική επιστήμη ασχολείται με την μελέτη των ποσοτήτων αυτών και στην συγκεκριμένη εργασία ασχολούμαστε με ένα θέμα το οποίο είναι από τα σημαντικότερα στην επιστήμη αυτή. Το θέμα είναι η λεγόμενη «χρεοκοπία», δηλαδή η αθέτηση των υποχρεώσεων από τον ασφαλιστικό οργανισμό. Η μελέτη που γίνεται σε αυτή την εργασία αφορά στην παρουσίαση ενός πολύ χρήσιμου μαθηματικού εργαλείου και στον τρόπο που μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε ώστε να πάρουμε πολύτιμες πληροφορίες για ποσότητες οι οποίες είναι σχετικές με τη χρεοκοπία. Πρόκειται για μια μαθηματική συνάρτηση η οποία έχει αρκετές παραμέτρους οι οποίες την καθιστούν τόσο πολύτιμη καθώς μπορούμε για συγκεκριμένες επιλογές των επιμέρους παραμέτρων να αντλήσουμε πλήθος πληροφοριών οι όποιες μας βοηθούν να κατανοήσουμε όσο το δυνατό καλύτερα το συμβάν της χρεοκοπίας. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται «συνάρτηση Gerber – Shiu» και πήρε το όνομα αυτό από τους Hans U. Gerber και Elias S.W. Shiu, οι οποίοι παρουσίασαν αυτό το πολύτιμο εργαλείο στο περιοδικό «The North American Actuarial Journal» τον Ιανουάριο του 1998 με τίτλο «On the time value of ruin». Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε απαραίτητες γνώσεις που απαιτούνται για την κατανόηση του εργαλείου αυτού, ορισμένες περιπτώσεις για συγκεκριμένες παραμέτρους καθώς και την γενίκευση της συνάρτησης.