Η γενικευμένη συνάρτηση των Gerber Shiu για διακριτές ανανεωτικές στοχαστικές διαδικασίες πλεονάσματος με εξάρτηση

Abstract

Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγονται οι έννοιες των στοχαστικών ανελίξεων καθώς και οι ορισμοί των κύριων μεταβλητών που απασχολούν αυτή την εργασία. Γίνεται μια πρώτη εισαγωγή στο μοντέλο του Sparre Andersen, το οποίο μελετά το απόθεμα της εταιρίας, όπως επίσης και του κύριου μοντέλου που αναλύεται, το γενικευμένο μοντέλο Gerber Shiu. Από αυτή βρίσκονται και αναλύονται τα ύψη των ζημιών που συμβαίνουν οποιεσδήποτε χρονικές στιγμές και η πιθανότητα χρεοκοπίας που υπεισέρχεται αυτών. Έπειτα στο δεύτερο κεφάλαιο δημιουργούνται διαφορετικές μορφές της προεξοφλημένης συνάρτησης Gerber-Shiu βάσει των ειδικών περιπτώσεων της συνάρτησης ποινής και των ζημιών που ακολουθούν γεωμετρική κατανομή. Σημειώνεται ότι όλα τα σύνολα των μεταβλητών είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Παίρνοντας αναδρομικές σχέσεις και ρητές εκφράσεις της συνάρτησης Gerber-Shiu, καταλήγουμε σε γεννήτριες συναρτήσεις. Η αντίστοιχη μελέτη γίνεται για ύψη ζημιών που ακολουθούν μικτή γεωμετρική κατανομή και όταν αυτά είναι φραγμένα. Σε συνέχεια στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται ανάλυση της γενικευμένης συνάρτησης με βάση τους ενδιάμεσους χρόνους και τα ύψη ζημιών χρησιμοποιώντας αναδρομικές σχέσεις , εξασφαλίζοντας έτσι θετικό απόθεμα. Στο τέταρτο κεφάλαιο επεξηγούνται τα ύψη ζημιών και οι ενδιάμεσοι χρόνοι, τα οποία είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, ακολουθώντας γεωμετρική κατανομή και συνδυασμό γεωμετρικών κατανομών. Επίσης γίνεται ανάλυση των ίδιων υποθέσεων με ειδικές περιπτώσεις της συνάρτησης ποινής. Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται η ίδια ανάλυση με το τέταρτο, όμως με εξάρτηση ανάμεσα στα ύψη ζημιών και στους ενδιάμεσους χρόνους. Στο προτελευταίο κεφάλαιο γίνεται η μελέτη του προηγούμενου κεφαλαίου με υστέρηση πρώτης ζημιάς και εισάγουμε μια νέα παράμετρο που να διαχωρίζει τα δύο μοντέλα. Τέλος γίνεται μια γραφική απεικόνιση όλων των παραπάνω και παρίστανται σε διαγράμματα ώστε να είναι πιο αντιληπτές οι διαφορές μεταξύ των περιπτώσεων.