Στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων για κατανομές με μονότονη γήρανση

Abstract

Στην παρούσα εργασία μελετάμε κλάσεις κατανομών αξιοπιστίας με μονότονη γήρανση (aging). Στο πρώτο μέρος της εργασίας παρουσιάζουμε τις γνωστότερες από αυτές τις κλάσεις και τις ιδιότητές τους, ενώ στο δεύτερο μέρος εξετάζουμε το στατιστικό πρόβλημα του ελέγχου υποθέσεων για κατανομές με μονότονη γήρανση. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της βαθμίδας αποτυχίας μιας μονάδας ή ενός συστήματος. Αρχικά δίνεται ο ορισμός και η ερμηνεία της και στη συνέχεια περιγράφονται οι διάφορες μορφές της. Τέλος, γίνεται μια ανασκόπηση γνωστών παραμετρικών μοντέλων και παρατίθενται παραδείγματα για την βαθμίδα αποτυχίας της εκάστοτε κατανομής όπου παρουσιάζεται αναλυτικά ο τύπος και η γραφική παράσταση τόσο της βαθμίδας αποτυχίας όσο και της συνάρτησης αξιοπιστίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετούμε διάφορες οικογένειες κατανομών οι οποίες ταξινομούνται σε διάφορες κλάσεις με βάση τη βαθμίδα αποτυχίας ή τον μέσο υπολειπόμενο χρόνο ζωής. Κάθε οικογένεια κατανομών αναλύεται διεξοδικά και στη συνέχεια δίνονται προτάσεις που τη συνδέουν με άλλες κλάσεις κατανομών που ανήκουν σε αυτές. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετούμε τη μεθοδολογία που έχει προταθεί τα τελευταία χρόνια και αφορά τον έλεγχο της υπόθεσης ότι μια κατανομή έχει μονότονη γήρανση. Στους ελέγχους αυτούς η μηδενική υπόθεση είναι ότι η κατανομή που εξετάζουμε είναι η εκθετική, η οποία έχει σταθερή βαθμίδα αποτυχίας, ενώ η εναλλακτική υπόθεση είναι ότι η κατανομή αυτή ανήκει σε κάποια μη παραμετρική οικογένεια κατανομών (π.x IFR, IFRA, NBU, NBUE κλπ). Στο τέταρτο κεφάλαιο προσεγγίζουμε το θέμα των στατιστικών ελέγχων που μελετήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, από την πρακτική του πλευρά και συγκεκριμένα μέσω προσομοίωσης. Χρησιμοποιούμε το στατιστικό πακέτο Mathematica για να παράγουμε τυχαία δείγματα από γνωστές στη θεωρία αξιοπιστία κατανομές- όπως είναι η Weibull, Gamma, LFR κλπ- και στη συνέχεια εκτιμούμε την συνάρτηση ισχύος της διαδικασίας ελέγχου προκειμένου να αποφανθούμε αν η στατιστική που χρησιμοποιήσαμε οδηγεί σε στατιστικώς σημαντικά αποτελέσματα ή όχι και να αξιολογήσουμε εμπειρικά την απόδοση της συγκεκριμένης μεθόδου.