Ιδιότητες και προσεγγίσεις για μείξεις και συνελίξεις γάμμα κατανομών

Abstract

Ο αναλογισμός αποτελεί μια επιστήμη και έναν κλάδο των εφαρμοσμένων και χρηματοοικονομικών μαθηματικών ο οποίος τα τελευταία χρόνια έχει εξελιχθεί ραγδαία στον τομέα της ασφάλισης. Συγκεκριμένα η θεωρία χρεοκοπίας, ως ένας από τους σημαντικότερους κλάδους της θεωρίας κινδύνου, μελετάει την ανέλιξη του πλεονάσματος δηλαδή τις μεταβολές στα έσοδα και τα έξοδα με την πάροδο του χρόνου για ένα ασφαλιστικό χαρτοφυλάκιο. Παράλληλα ιδιαίτερα σημαντική είναι και η μοντελοποίηση των μεγεθών των αποζημιώσεων στο συλλογικό πρότυπο της θεωρίας κινδύνων και η επιλογή των κατάλληλων κατανομών για την μοντελοποίηση τόσο των ατομικών μεγεθών αλλά και την περιγραφή των συνολικών ζημιών. Εδώ και αρκετά χρόνια η κατανομή Γάμμα, η οποία είναι μια συνεχής κατανομή με δύο παραμέτρους (κλίμακας και σχήματος), χρησιμοποιείται εκτενώς όχι μόνο στην στατιστική ανάλυση αλλά και στον τομέα του αναλογισμού. Αποτελούν κατανομές οι οποίες πλέον έχουν μελετηθεί λεπτομερώς και για αυτό το λόγο εφαρμόζονται ευρέως στην μοντελοποίηση ασφαλιστικών χαρτοφυλακίων. Παρ’ όλα αυτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον μελέτης για την αναλογιστική επιστήμη αποτελούν και οι μείξεις αλλά και οι συνελίξεις αυτών των κατανομών. Για τον σκοπό της εργασίας, θα προσπαθήσουμε να εξετάσουμε μέσω παραδειγμάτων την ασυμμετρία και την κύρτωση για τις μείξεις και συνελίξεις Γάμμα κατανομών ώστε να έχουμε μια εικόνα σχετικά με την μορφή τους και να εντοπίσουμε ποιοι συνδυασμοί των παραμέτρων και των βαρών (για τις μείξεις) μας δίνουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά αντίστοιχα. Παράλληλα θα προσπαθήσουμε μέσω άλλων κατανομών να προσεγγίσουμε τις συνελίξεις Γάμμα κατανομών οι οποίες αρκετές φορές δεν έχουν αναλυτικό τύπο και να μελετήσουμε την εφαρμογή αυτών στην θεωρία κινδύνων και στο συλλογικό πρότυπο αποζημιώσεων των ασφαλιστικών χαρτοφυλακίων.