Κατανομές τύπου φάσεων και οι εφαρμογές τους στην αναλογιστική επιστήμη

Abstract

Τα τελευταία χρόνια υπάρχει αυξημένο ακαδημαϊκό και επιστημονικό ενδιαφέρον γύρω από τις κατανομές τύπου φάσεων. Tα πιο απλά παραδείγματα κατανομών τύπου φάσεων είναι οι συνελίξεις εκθετικών κατανομών και τα μοντέλα πεπερασμένων μείξεων. Δεδομένου ότι οι διακριτές κατανομές τύπου φάσεων είναι πυκνές στην κλάση των κατανομών στο ℕ0, τότε είναι σαφές ότι οι συνεχείς κατανομές τύπου φάσεων είναι πυκνές στην κλάση των κατανομών στο ℝ+. Αυτή η ιδιότητα τους τις καθιστά ένα πολύ ευπροσάρμοστο εργαλείο μοντελοποίησης. Στόχος αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η αναλυτική παρουσίαση των κατανομών τύπου φάσεων και ορισμένων εφαρμογών τους στην αναλογιστική επιστήμη. Αναλυτικότερα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται αρχικά μία περιληπτική παρουσίαση των Μαρκοβιανών αλυσίδων τόσο σε διακριτό όσο και σε συνεχή χρόνο. Στη συνέχεια εισάγουμε και μελετούμε τις κατανομές τύπου φάσεων, τόσο στη διακριτή όσο και στη συνεχή περίπτωση, παρουσιάζοντας πληθώρα παραδειγμάτων και εφαρμογών. Συνεχίζουμε με το δεύτερο κεφάλαιο όπου αναλύουμε το μοντέλο συλλογικού κινδύνου το οποίο συνδυάζουμε με τις κατανομές τύπου φάσεων. Μέσα από θεωρήματα, παραδείγματα και εφαρμογές βλέπουμε πως οι κατανομές τύπου φάσεων εφαρμόζονται σε αυτό το κομμάτι της αναλογιστικής επιστήμης. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο ασχολούμαστε με τη θεωρία χρεοκοπίας. Η εφαρμογή των κατανομών τύπου φάσεων στη θεωρία χρεοκοπίας παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον καθώς μπορεί να αποτελέσει ένα επιπλέον εργαλείο για τους αναλογιστές. Μέσα από τις εφαρμογές και με τη χρήση κατάλληλων αποτελεσμάτων που μας δίνει η θεωρία, βρίσκουμε σε ορισμένες περιπτώσεις την πιθανότητα χρεοκοπίας χρησιμοποιώντας κατανομές τύπου φάσεων.