Ανάλυση δισδιάστατων στοχαστικών διαδικασιών πλεονάσματος στη θεωρία χρεοκοπίας

Abstract

Σκοπός της διπλωματικής είναι μελέτη της αναλογικής αντασφάλισης, δυναμικής αναλογικής αντασφάλισης καθώς και στρατηγικές φραγμάτων μερισμάτων υπό το πρίσμα ενός δισδιάστατου μοντέλου χρεοκοπίας. Καθώς μια ασφαλιστική εταιρεία σε ένα χαρτοφυλάκιό της μπορεί να έχει παραπάνω από μια κλάσεις κινδύνων θα επεκτείνουμε το κλασσικό μοντέλο χρεοκοπίας σε παραπάνω διαστάσεις, με την κάθε διάσταση να περιγράφει μια κλάση κινδύνου. Επίσης σε πολλές περιπτώσεις οι κλάσεις κινδύνων (υπό-χαρτοφυλάκια) μπορεί να συνδέονται μεταξύ τους, οπότε θα προσθέσουμε μια ακόμα στοχαστική διαδικασία για την περιγραφή της αλληλεπίδρασή τους. Πιο συγκεκριμένα : Στο κεφάλαιο 1 θα ανακεφαλαιώσουμε το κλασσικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνου δείχνοντας μερικά βασικά αποτελέσματα για τις στοχαστικές διαδικασίες Poisson, για τις ανανεωτικές εξισώσεις, τη συνάρτηση των Gerber-Shiu, μερικά φράγματα και το μετασχηματισμό Laplace για τη γενικευμένη διαδικασία Erlang. Στο κεφάλαιο 2 θα ξεκινήσουμε επεκτείνοντας το κλασσικό μοντέλο σε -διαστάσεις δίνοντας και την αντίστοιχη συνάρτηση των Gerber-Shiu. Επιπροσθέτως θα το ειδικεύσουμε στο δισδιάστατο που είναι και ο κύριος σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας, δίνοντας και μερικά αποτελέσματα για τις τύπου φάσεων κατανομές και θα καταλήξουμε σε μερικές εφαρμογές. Στο κεφάλαιο 3 θα δώσουμε ένα ελαφρώς παραλλαγμένο μοντέλο που εφαρμόζεται στη δυναμική αναλογική αντασφάλιση και την αναλογική αντασφάλιση καθώς και κάποια βασικά φράγματα για την πιθανότητα χρεοκοπίας και το μετασχηματισμό Laplace από κοινού με το χρόνο χρεοκοπίας. Τέλος στο κεφάλαιο 4, μελετάται μια διαδικασία δισδιάστατου κινδύνου στην οποία κάθε μεμονωμένη κλάση εφαρμόζει μια στρατηγική φράγματος μερισμάτων. Τα ασφαλιστικά χαρτοφυλάκια των δύο ασφαλιστών είναι συσχετισμένα δεδομένου ότι υπόκεινται στα κοινά σοκ που προκαλούν τις εξαρτώμενες ζημιές. Για να αναλυθούν τα αναμενόμενα προεξοφλημένα μερίσματα μέχρι τον κοινό χρόνο χρεοκοπίας της δισδιάστατης διαδικασίας, προτείνεται με ένα διακριτό χρονικά αντίστοιχο του μοντέλου και εφαρμόζεται μια δισδιάστατη επέκταση της διακριτοποίησης των Dickson-Waters (Dickson και Waters (1991)) με τη χρήση δισδιάστατης αναδρομής του τύπου Panjer (Walhin και Paris (2000)). Λεπτομερή αριθμητικά παραδείγματα με διάφορες εξαρτήσεις μέσω κοινών σοκ, θεωρίες πιθανοτήτων (Copulas) και αναλογικές αντασφαλίσεις τίθενται υπόψη και δίνονται βέλτιστες εφαρμογές σε προβλήματα στην αντασφάλιση, την κύρια κατανομή και τα μερίσματα. Επίσης διευκρινίζεται ότι το βέλτιστο ζευγάρι των φραγμάτων μερισμάτων που μεγιστοποιεί τη συνάρτηση μερισμάτων εξαρτάται από το αρχικό επίπεδο πλεονάσματος. Προς το τέλος προτείνεται ο τύπος στρατηγικής φραγμάτων μερισμάτων.