Στατιστικές μέθοδοι για ακραία συμβάντα

Abstract

Η θεωρία ακραίων τιμών αποτελεί ένα σημαντικό εργαλείο για την εκτίμηση των πιθανοτήτων πραγματοποίησης ακραίων και κατά συνέπεια σπανίων γεγονότων. Πρακτικά εφαρμόζεται σε πολλούς τομείς, όπως η υδρολογία, η μετεωρολογία, η ασφάλιση κ.α. και χρησιμοποιείται για την ανάλυση της συμπεριφοράς των μεγίστων και των ελαχίστων παρατηρήσεων ενός συνόλου παρατηρήσεων, δηλαδή των παρατηρήσεων που βρίσκονται στην ουρά μιας κατανομής. Στο Κεφάλαιο 1, αιτιολογείται η χρησιμοποίηση της θεωρίας ακραίων τιμών καθώς και οι βασικές θεωρητικές αρχές που τη διέπουν. Μέσω του Θεωρήματος Fisher – Tippett ορίζονται οι τρεις τύποι κατανομών ακραίων τιμών. Στη συνέχεια περιγράφονται οι ιδιότητες των κατανομών αυτών και ορίζεται η γενικευμένη τους μορφή καθώς η γενικευμένη κατανομή Pareto. Τέλος γίνεται αναφορά στις ιδιότητες των διατεταγμένων παρατηρήσεων, που αποτελούν τη βάση για ένα μεγάλο αριθμό εκτιμητών. Στο Κεφάλαιο 2 αναφέρονται τα βασικά διαγραμματικά εργαλείων που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση ακραίων τιμών. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η εκτίμηση των παραμέτρων της γενικευμένης κατανομής ακραίων παρατηρήσεων μέσω της μεθόδου μέγιστης πιθανοφάνειας. Τέλος γίνεται μια εισαγωγική αναφορά στη μέθοδο των υπερβάσεων πάνω από ένα υψηλό κατώφλι προσαρμόζοντας τη γενικευμένη κατανομή Pareto μέσω της μεθόδου μέγιστης πιθανοφάνειας και στο τρόπο που μπορεί να προχωρήσει σε αποτίμηση κινδύνου χαρτοφυλακίου μέσω των εξαγόμενων αποτελεσμάτων. Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται μία πρακτική εφαρμογή της θεωρίας και των μεθόδων που παρουσιάστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, αναλύοντας τη πορεία των λογαριθμικών αποδόσεων του δείκτη S&P 500.