Υπολογισμός και εκτίμηση στρεβλών μέτρων κινδύνων με εφαρμογές στον αναλογισμό

Abstract

Η έννοια του κινδύνου αποτελεί θεμελιώδη παράμετρο στον τομέα της αναλογιστικής επιστήμης. Η ανάγκη ποσοτικοποίησης και αποτελεσματικής διαχείρισής του οδήγησε στην ανάπτυξη διαφόρων μέτρων, τα οποία αποσκοπούν στην πρόβλεψη και αποτίμηση ενδεχόμενων ακραίων ζημιών. Στο πλαίσιο αυτό, η παρούσα εργασία, βασισμένη στις επιστημονικές προσεγγίσεις των Hardy (2006) και Upretee & Brazauskas (2023), επικεντρώνεται στην θεωρητική θεμελίωση, τον υπολογισμό και την εκτίμηση μιας ιδιαίτερα σημαντικής κατηγορίας μέτρων κινδύνου, γνωστών ως στρεβλά (παραμορφωμένα) μέτρα. Παράλληλα, μελετώνται οι εφαρμογές τους στον αναλογισμό, καθώς επίσης και οι προσεγγιστικές μέθοδοι που καθίστανται αναγκαίες όταν η αναλυτική τους αντιμετώπιση δεν είναι εφικτή. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγονται τα βασικά αναλογιστικά μέτρα κινδύνου, με έμφαση στην Αξία σε Κίνδυνο (Value at Risk – VaR) και την Υπό Συνθήκη Προσδοκία Ουράς (Conditional Tail Expectation – CTE), καθώς και στην μεταξύ τους σύγκριση. Επιπλέον, παρουσιάζονται τα στρεβλά μέτρα κινδύνου και εξετάζεται η ιδιότητα της συνοχής (coherence) αυτών, όπως ορίζεται από τα αξιώματα των Artzner et al. (1999). Τέλος, παρουσιάζονται εναλλακτικά μέτρα κινδύνου, γνωστά ως μέτρα μεταβλητότητας, όπως η διακύμανση και η τυπική απόκλιση, αναδεικνύοντας τους περιορισμούς τους σε σχέση με την αξιολόγηση του κινδύνου. Στη συνέχεια, στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζεται η εκτίμηση των μέτρων κινδύνου μέσω προσομοιώσεων Monte Carlo. Αναλύεται ο υπολογισμός του VaR και του CTE, ενώ κατασκευάζονται παραμετρικά και μη παραμετρικά διαστήματα εμπιστοσύνης. Επιπλέον, παρουσιάζονται μέθοδοι εκτίμησης του τυπικού σφάλματος και αξιολογείται η ακρίβεια των εκτιμητών, αναδεικνύοντας τα πλεονεκτήματα και τους περιορισμούς της στοχαστικής αυτής προσέγγισης. Τέλος, στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζεται ο υπολογισμός και η εκτίμηση των στρεβλών μέτρων κινδύνου, όπως ο Αναλογικός Μετασχηματιμσός Κινδύνου (Proportional Hazard Transform – PHT), ο Μετασχηματισμός κατά Wang (Wang Transform – WT) και το έλλειμμα κατά Gini (Gini Shortfall – GS). Παρουσιάζονται οι ρητές μορφές τους για επιλεγμένες κατανομές απώλειας, καθώς και τα θεωρητικά φράγματα που τα προσεγγίζουν, τα οποία επιβεβαιώνονται μέσω αριθμητικής επαλήθευσης και ελέγχου της ποιότητας των εκτιμήσεων. Επιπλέον, με τη βοήθεια αριθμητικών απεικονίσεων, διερευνάται η συμπεριφορά των κατανομών με παρόμοια επικινδυνότητα στην ουρά, ενώ μέσω προσομοιώσεων Monte Carlo, αναδεικνύεται η πρακτική σημασία των προαναφερθέντων μέτρων σε περιπτώσεις όπου η αναλυτική μορφή καθίσταται απροσπέλαστη. Συνολικά, η διπλωματική αυτή εργασία επιδιώκει να αναδείξει τα πλεονεκτήματα των στρεβλών μέτρων κινδύνου ως προς την αποτίμηση της επικινδυνότητας και να συμβάλει στη γεφύρωση της θεωρίας με την εφαρμογή, ενισχύοντας παράλληλα την αξιοπιστία της διαδικασίας εκτίμησης του κινδύνου στον τομέα του αναλογισμού.