Ανάλυση του πλεονάσματος για ανανεωτικές στοχαστικές διαδικασίες ασφαλιστικών κινδύνων

Abstract

Βασικό αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη του πλεονάσματος για ανανεωτικές στοχαστικές διαδικασίες ασφαλιστικών κινδύνων. Πραγματοποιείται ενδελεχής ανάλυση σημαντικών μεγεθών όπως η πιθανότητα χρεοκοπίας, ο χρόνος χρεοκοπίας, το πλεόνασμα πριν τη χρεοκοπία, το έλλειμμα που δημιουργείται μετά την επέλευση της χρεοκοπίας κα. Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται παρουσίαση των μαθηματικών μεγεθών που θα φανούν χρήσιμα στη συνέχεια. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζονται το πολυώνυμο Lagrange, ο τελεστής Dickson – Hipp, η ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση, καθώς επίσης και δύο κατανομές, πάνω στις οποίες βασίζεται το μεγαλύτερο μέρος της εργασίας, οι κατανομές Erlang και Cox. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζεται η συνάρτηση Gerber – Shiu για το κλασσικό μοντέλο κινδύνου Poisson, όπως επίσης και εφαρμογές της συγκεκριμένης συνάρτησης μέσω της ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης. Στο Κεφάλαιο 3 μελετάται η συνάρτηση Gerber – Shiu για το μοντέλο Sparre – Andersen (ανανεωτικό μοντέλο της Θεωρίας Κινδύνου) με εξάρτηση μεταξύ των ενδιάμεσων χρόνων εμφάνισης των κινδύνων και των αντίστοιχων μεγεθών των απαιτήσεων ζημιών. Στο Κεφάλαιο 4 δίνονται αναλυτικά αποτελέσματα για τη συνάρτηση των Gerber – Shiu που εξετάστηκε στο Κεφάλαιο 3, θεωρώντας ότι τα ύψη των απαιτήσεων ακολουθούν κατανομές Erlang και Cox. Το Κεφάλαιο 5 εξετάζεται η κατανομή του χρόνου χρεοκοπίας για το κλασσικό μοντέλο κινδύνου Poisson, ενώ δίνεται η από-κοινού συνάρτηση πυκνότητας του χρόνου χρεοκοπίας και του ελλείμματος κατά τη χρεοκοπία. Τέλος, στο Κεφάλαιο 6 παρέχονται χρήσιμα συμπεράσματα για τον υπολογισμό του συνολικού ύψους των απαιτήσεων και το πλήθος αυτών πριν τη χρεοκοπία, μέσω της γενικευμένης συνάρτησης των Gerber - Shiu.