Ανελίξεις LEVY : θεωρία και εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά

Abstract

Η ασυμμετρία και η κύρτωση οι οποίες παρατηρούνται συχνά στις εμπειρικές κατανομές των χρηματοοικονομικών δεδομένων, καθιστούν το Υπόδειγμα Black & Scholes ακατάλληλο να περιγράψει με ακρίβεια την συμπεριφορά των τιμών της αγοράς. Η χρήση στοχαστικών διαδικασιών που περιέχουν άλματα, όπως η οικογένεια των ανελίξεων Lévy, μπορεί να δώσει απαντήσεις σε αυτά τα προβλήματα. Η σύνδεση μεταξύ των απείρως διαιρετών κατανομών και των ανελίξεων Lévy μέσω του Τύπου των Lévy-Khintchine προσδίδει σε αυτές τις διαδικασίες ιδιότητες, κατάλληλες για την επίτευξη του στόχου αυτού. Επιπλέον, η διάσπαση των ανελίξεων Lévy μέσω της Lévy-Itô διαχώρισης στα κύρια δομικά συστατικά τους, διαφωτίζει τον τρόπο με τον οποίο αυτές οι στοχαστικές διαδικασίες κατορθώνουν να αποδώσουν τα άλματα και τον γενικό μηχανισμό διαμόρφωσης των τιμών της αγοράς. Τέλος, στα πλαίσια της εφαρμογής των στοχαστικών ανελίξεων Lévy στην Χρηματοοικονομία, διενεργείται κάτω από ένα ισοδύναμο martingale μέτρο πιθανότητας, σύμφωνα με την Αρχή της μη Επιτηδειότητας, η τιμολόγηση ενός συγκεκριμένου τύπου εξωτικών δικαιωμάτων, αυτή των lookback δικαιωμάτων αγοράς επί του χρηματοοικονομικού δείκτη S&P 500. Η τιμολόγηση, επιχειρείται με την χρήση τριών διαφορετικών υποδειγμάτων, του κλασσικού Black & Scholes, ενός Variance Gamma και ενός BNS Gamma-OU Υποδείγματος. Η έλλειψη κλειστών τύπων υπολογισμού της αρχικής τιμής των συμβολαίων στις Lévy αγορές, αντιμετωπίζεται με την μέθοδο της Monte Carlo προσομοίωσης ενώ πραγματοποιείται και η σύγκριση της προσαρμογής των τριών υποδειγμάτων στις πραγματικές τιμές της αγοράς.