Θεωρία και εφαρμογές της συμονοτονικότητας σε χρηματοοικονομικά και αναλογιστικά προβλήματα

Abstract

Σε ένα ασφαλιστικό πλαίσιο, μας ενδιαφέρει η συνάρτηση κατανομής ενός αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών. Ένα τέτοιο άθροισμα εμφανίζεται κατά την εξέταση της αξίας ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου κατά τη διάρκεια μιας ορισμένης περιόδου αναφοράς. Εμφανίζεται επίσης κατά την εξέταση των πληρωμών που αφορούν ένα χαρτοφυλάκιο σε διαφορετικά μελλοντικά χρονικά σημεία. Η υπόθεση της αμοιβαίας ανεξαρτησίας μεταξύ δύο παραγόντων του αθροίσματος είναι κατάλληλη από υπολογιστική άποψη, αλλά μερικές φορές μη ρεαλιστική. Σε αυτό το έγγραφο, καθορίζονται κάποιες προσεγγίσεις για τα αθροίσματα των τυχαίων μεταβλητών, όταν είναι γνωστές οι κατανομές των όρων του αθροίσματος, αλλά η πιθανή δομή εξάρτησης μεταξύ τους είναι άγνωστη. Ο στόχος της εργασίας είναι να αναπτυχθούν και να συγκριθούν τα φράγματα για αθροίσματα εξαρτημένων τυχαίων μεταβλητών χρησιμοποιώντας την έννοια της συμονοτονικότητας. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιείται μια γενική τεχνική για άνω (και κάτω) φράγματα υπό την έννοια της κυρτής διάταξης για τα Stop-loss ασφάλιστρα των αθροισμάτων εξαρτώμενων τυχαίων μεταβλητών. Αποδεικνύεται ότι το μεγαλύτερο άθροισμα υπό την έννοια της κυρτής διάταξης των όρων ενός τυχαίου διανύσματος με δοσμένες τις περιθώριες, ακολουθεί την συμονοτονική κατανομή το οποίο σημαίνει ότι κάθε δύο πιθανές εκβάσεις του διανύσματος διατάσσονται κατά συνιστώσα. Επιπλέον, υποθέτοντας ότι υπάρχει μια τυχαία μεταβλητή έτσι ώστε η συνάρτηση κατανομής των όρων του αθροίσματος, δεσμέυοντας στη τυχαία μεταβλητή αυτή, να είναι γνωστή, ορίζονται άνω και κάτω φράγματα. Tέλος, παρουσιάζονται διάφορες εφαρμογές της έννοιας της συμονοτονικότητας στον τομέα της ασφαλιστικής επιστήμης και στα χρηματοοικονομικά. Δίνονται μερικά αριθμητικά παραδείγματα στο πώς να κατασκευάζονται τα κυρτά κάτω και άνω φράγματα για αθροίσματα τυχαίων μεταβλητών και παράγονται φράγματα για την τιμολόγηση των αριθμητικών Ασιατικών Δικαιωμάτων.