Μελέτη μέτρων χρεοκοπίας για τη διαδικασία πλεονάσματος με δύο χαρτοφυλάκια κινδύνων.

Abstract

Η θεωρία κινδύνου πραγματέυεται πλην των άλλων προβλημάτων, την μελέτη της εύρυθμης λειτουργείας ενός ασφαλιστικού οργανισμού μέσω της μελέτης διαφόρων μέτρων κινδύνου, όπως είναι η πιθανότητα χρεοκοπίας, δηλαδή της πιθανότητας τα αποθεματικά να μην επαρκούν για την κάλυψη των συνολικών αποζημιώσεων. Πρόσφατα, οι Gerber-Shiu με την εργασία τους “On the time value of ruin” [(1998) North American Actuarial Journal],ενσωμάτωσαν όλα τα μέτρα χρεοκοπίας, που ενδιαφέρουν έναν ασφαλιστικό οργανισμό σε μια μόνο συνάρτηση. Σκοπός της συγκεκριμένης διατριβής είναι η μελέτη της συνάρτησης Gerber-Shiu (ή της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτηση ποινής) σε μοντέλα κινδύνων, όπου οι χρόνοι εμφάνισης των ζημιών και τα μεγέθη των αντίστοιχων ζημιών παρουσιάζουν (ανομοιογένεια) εξάρτηση μεταξύ τους. Σε αυτήν διατριβή θα θεωρήσουμε ένα χαρτοφυλάκιο κινδύνου με δύο πηγές κινδύνων ή δύο από κοινού χαρτοφυλάκια κινδύνων, έτσι ώστε οι ενδιάμεσοι χρόνοι εμφάνισης των ζημιών στα δύο χαρτοφυλάκια να είναι εν γένει διαφορετικοί μεταξύ τους. Πιο συγκεκριμένα στο κεφάλαιο 1 δίνουμε αναλυτική περιγραφή του ανανεωτικού μοντέλου Erlang(2),το οποίο αποτελεί γενίκευση του κλασικού μοντέλου της θεωρίας χρεοκοπίας και ασχολούμαστε με μέτρα κινδύνου της συνάρτησης Gerber-Shiu για το συγκεκριμένο μοντέλο. Στο κεφάλαιο 2 παραθέτουμε μια αναλυτική περιγραφή ενός μη-ανανεωτικού μοντέλου με δύο κλάσεις κινδύνων, όπου υποθέτουμε ότι στην πρώτη και στην δεύτερη κλάση ο αριθμός των κινδύνων είναι μια στοχαστική διαδικασία Poisson και μια ανανεωτική στοχαστική διαδικασία με γενικευμένους χρόνους Erlang(2) ενδιάμεσους χρόνους αντίστοιχα. Επίσης δείχνουμε πώς η συνάρτηση των Gerber-Shiu ικανοποιεί μια ελαττωματική ανανεωτική εξίσωση και δίνουμε λύση αυτής. Στο κεφάλαιο 3 τόσο ανανεωτικό μοντέλο, όσο και στο μη-ανανεωτικό μοντέλο με δύο κλάσεις κινδύνων που δώσαμε στο κεφάλαιο 2, εισάγουμε μια στρατηγική σταθερού μερίσματος και δείχνουμε τρόπο υπολογισμού της συνάρτησης Gerber-Shiu και των ροπών των προεξοφλημένων μερισμάτων κάτω από την ύπαρξη της προαναφερόμενης στρατηγικής. Τέλος, στο κεφάλαιο 4 δίνουμε αριθμητικά αποτελέσματα για το μη-ανανεωτικό μοντέλο για την θεωρία χρεοκοπίας.