Καμπυλότητα (Curvature)

Abstract

Καμπύλες όπως ο κύκλος, οι κωνικές τομές, οι έλικες και οι σπείρες είχαν απασχολήσει τους αρχαίους ΄Ελληνες. Με σχετικά προβλήματα είχαν ασχοληθεί ο Πλάτωνας, ο Μέναιχμος, ο Απολλώνιος, ο Αρχιμήδης, κ.α. Επίσης για την αντιμετώπιση των περίφημων άλυτων (με κανόνα και διαβήτη) προβλημάτων είχαν ανακαλυφθεί και μελετηθεί η κισσοειδής του Διοκλέους, η κογχοειδής του Νικομήδους και η τετραγωνίζουσα του Δεινοστράτου. Ένα σημαντικό πρόβλημα που απασχόλησε τους Μαθηματικούς από την εποχή της αρχαιότητας, ήταν και η χάραξη της εφαπτομένης σε ένα σημείο μίας καμπύλης. Το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε ϕυσικά στο πλαίσιο της γνωστής τότε (συνθετικής) Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Οι απαντήσεις που δόθηκαν ήσαν μόνον μερικές και αφορούσαν συγκεκριμένες καμπύλες. Μια καλλίτερη προσέγγιση έγινε δυνατή στο πλαίσιο της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Παρά τις σημαντικές προόδους που σημειώθηκαν στην κατεύθυνση αυτή από τους R. Descartes, P. Fermat και C. Huygens, και πάλι η γενική μέθοδος επίλυσης του προβλήματος σταματούσε όταν επρόκειτο να αντιμετωπιστούν εξισώσεις βαθμού ανωτέρου του 3. Το πρόβλημα του προσδιορισμού της εφαπτομένης επιλύθηκε στη γενικότητά του με την χρήση του Διαφορικού Λογισμού, που μαζί με τον Ολοκληρωτικό Λογισμό άσκησαν τεράστια επίδραση στην εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης. Η χρήση του Διαφορικού Λογισμού στη μελέτη της Γεωμετρίας οδήγησε στην δημιουργία ενός νέου κλάδου, της Διαφορικής Γεωμετρίας. Στην ανάπτυξη της Διαφορικής Γεωμετρίας των καμπυλών είχαν θεμελιώδη συμβολή οι I. Newton, G. W. Leibniz, L. Euler, G. Monge, J. Bernoulli, A. C. Clairaut, F. Frenet, J. A. Serret, J. Bertrand, Ch. Dupin, και πολλοί άλλοι. Μερικά άλλα σημαντικά ονόματα θα αναφερθούν στη θεωρία των επιφανειών. Η μελέτη των καμπυλών, εκτός από το καθ’ αυτό μαθηματικό ενδιαφέρον της, έχει σημαντικές εφαρμογές στη μηχανική, στη ναυσιπλοΐα, στον προσδιορισμό των τροχιών ουρανίων σωμάτων ή συστημάτων δορυφόρων, κ.α.