Ένα ανανεωτικό μοντέλο κινδύνου με την ύπαρξη στρατηγικής σταθερού μερίσματος

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζεται η μελέτη του ανανεωτικού μοντέλου Erlang, το οποίο αποτελεί τη γενίκευση του κλασσικού ανανεωτικού μοντέλου. Τόσο στο κλασσικό, όσο και στο μοντέλο Erlang, μία τυχαία μεταβλητή υψίστης σημασίας είναι αυτή του χρόνου χρεοκοπίας, δηλαδή την στιγμή που το πλεόνασμα θα πάρει για πρώτη φορά αρνητική τιμή. Δύο άλλες τυχαίες μεταβλητές, που σχετίζονται με τον χρόνο χρεοκοπίας, είναι η τυχαία μεταβλητή του πλεονάσματος την στιγμή ακριβώς πριν την χρεοκοπία και την στιγμή ακριβώς της χρεοκοπίας. Προφανώς, η από κοινού μελέτη των μεγεθών αυτών δίνει περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη συμπεριφορά του πλεονάσματος, από ότι η μελέτη του κάθε μέτρου ξεχωριστά. Ως εκ τούτου, θα μελετήσουμε την συνάρτηση Gerber και Shiu, η οποία περιγράφει ταυτόχρονα αυτά τα μεγέθη, στην περίπτωση ενός μοντέλου άνευ μερίσματος καθώς και στην περίπτωση καταβολής μερίσματος. Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί ένα εισαγωγικό μέρος. Παρουσιάζονται βασικές έννοιες από την θεωρία χρεοκοπίας και γίνεται η αναφορά της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής των Gerber και Shiu. Είναι η περίπτωση του μοντέλου χωρίς μέρισμα. Θα δειχθεί επίσης ότι η συνάρτηση των Gerber και Shiu ικανοποιεί μία ολόκληρο-διαφορική εξίσωση, η προσέγγιση της οποίας μπορεί να γίνει μέσω μίας σύνθετης γεωμετρικής κατανομής. Στο δεύτερο κεφάλαιο, οι έννοιες που μας απασχόλησαν στο πρώτο θα μελετηθούν σε βάθος, στην περίπτωση ενός μοντέλου με καταβολή μερίσματος, όταν το πλεόνασμα περάσει ένα προκαθορισμένο όριο. Θα δοθεί η λύση της ολόκληρο-διαφορικής εξίσωσης μέσω της αντίστοιχου της ομογενούς και χρήσης μετασχηματισμών Laplace. Τέλος, θα προσφερθεί και ένα αριθμητικό παράδειγμα. Στο τρίτο κεφάλαιο, θα μελετήσει την πορεία των μερισμάτων μέσω των ροπών τους. Θα δείξει ότι η ροπογεννήτρια του συνόλου των προεξοφληθέντων μερισμάτων, ικανοποιεί μία ολόκληρο-διαφορική εξίσωση, ίδια με αυτή που μελετήθηκε στο πρώτο κεφάλαιο και θα προσφέρει τη λύση της μέσω μιας παρόμοιας μεθοδολογίας. Τέλος, θα προσφέρει και εδώ ένα αριθμητικό παράδειγμα.