Εφαρμογές των στοχαστικών διατάξεων στη θεωρία συλλογικού κινδύνου

Abstract

Οι στοχαστικές διατάξεις αφορούν τη σύγκριση τυχαίων μεταβλητών υπό κάποια στοχαστική έννοια. Σε πολλές περιπτώσεις μας ενδιαφέρει να συγκρίνουμε δύο μεταβλητές, για παράδειγμα στα Αναλογιστικά μαθηματικά (insurance mathematics) αν οι μεταβλητές αυτές παριστάνουν ατομικές ζημιές σε δύο χαρτοφυλάκια και μία μεταβλητή είναι μεγαλύτερη από την άλλη υπό κάποια έννοια, τότε το αντίστοιχο χαρτοφυλάκιο παρουσιάζει μεγαλύτερη επικινδυνότητα. Επίσης, οι στοχαστικές διατάξεις μας βοηθάνε στην εύρεση φραγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ο υπολογισμός κάποιων συναρτήσεων τους (δεξιά ουρά, βαθμίδα αποτυχίας κ.α.) είναι πολύπλοκος. Η θεωρία των στοχαστικών διατάξεων έχει αποτελέσει ένα σημαντικό εργαλείο στη μελέτη στοχαστικών μοντέλων με εφαρμογές στη θεωρία των ουρών, στη θεωρία αξιοπιστίας, στα χρηματοοικονομικά και στη θεωρία του συλλογικού κινδύνου. Στην παρούσα διατριβή, αρχικά μελετάμε τη θεωρία Χρεοκοπίας αναπτύσσοντας το κλασικό μοντέλο και το κλασικό μοντέλο εφοδιασμένο με διάχυση και δίνουμε κάποια παραδείγματα με γνωστές κατανομές για την καλύτερη κατανόηση. Στο δεύτερο Κεφάλαιο παρουσιάζουμε γνωστές στοχαστικές διατάξεις της βιβλιογραφίας, όπως επίσης, περιγράφουμε την άμεση σύνδεσή τους με τις κλάσεις γήρανσης (ή κλάσεις αξιοπιστίας). Η κατηγοριοποίηση (σε κλάσεις) τυχαίων μεταβλητών συναρτήσει της μονοτονίας κάποιων χαρακτηριστικών συναρτήσεων τους (βαθμίδα αποτυχίας, συνάρτηση μέσου υπολειπόμενου χρόνου κ.α.) μας δίνει σημαντική πληροφορία για την ίδια την τυχαία μεταβλητή. Στο τρίτο Κεφάλαιο δίνουμε κάποιες στοχαστικές διατάξεις και κλάσεις γήρανσης σχετιζόμενες με το μετασχηματισμό Laplace και εμπλουτίζουμε τη βιβλιογραφία ορίζοντας κάποιες νέες κλάσεις γήρανσης. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε την κλειστότητα ως προς τις συνελίξεις της κλάσης NBULt, όπως επίσης, δίνουμε κάποια αποτελέσματα για το λόγο των παραγώγων των μετασχηματισμών Laplace. Είναι γεγονός ότι πολλές φορές δεν διατηρείται η σύγκριση τυχαίων μεταβλητών σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού τους. Μια πιο ρεαλιστική οπτική, είναι η σύγκριση τυχαίων μεταβλητών υπό κάποια στοχαστική έννοια πάνω σε διάστημα. Στο τέταρτο Κεφάλαιο, περιγράφουμε γνωστά αποτελέσματα της βιβλιογραφίας των στοχαστικών διατάξεων πάνω σε διάστημα και ορίζουμε νέες στοχαστικές διατάξεις πάνω σε διάστημα σχετιζόμενες με το μετασχηματισμό Laplace εφαρμόζοντας αυτά τα αποτελέσματα στη θεωρία χρεοκοπίας. Στο πέμπτο Κεφάλαιο εφαρμόζουμε τη θεωρία των στοχαστικών διατάξεων σε υποδείγματα της θεωρίας κινδύνων. Συγκεκριμένα, δίνουμε μια σύντομη επισκόπηση της βιβλιογραφίας και στη συνέχεια μελετάμε στοχαστικές διατάξεις και κλάσεις αξιοπιστίας που αφορούν ποσότητες σχετιζόμενες με τη χρεοκοπία (πιθανότητα χρεοκοπίας, κατανομή του ελλείμματος τη στιγμή της χρεοκοπίας, κ.α.) στο κλασικό μοντέλο και στο κλασικό μοντέλο εφοδιασμένο με διάχυση. Επίσης, μελετάμε υπό ποιες συνθήκες οι στοχαστικές διατάξεις μεταξύ των ζημιών διατηρούνται και για τις αντίστοιχες μέγιστες σωρευτικές απώλειες. Τέλος, στο έκτο Κεφάλαιο περιγράφουμε τη σύνδεση των στοχαστικών διατάξεων με τις μετρικές πιθανοτήτων. Όσο και αν φαίνονται ξένα εργαλεία μεταξύ τους, αποδεικνύεται ότι σχετίζονται άμεσα. Όπως και οι στοχαστικές διατάξεις, έτσι και οι μετρικές πιθανοτήτων μας βοηθάνε να αποκτήσουμε φράγματα και προσεγγίσεις για άγνωστες τυχαίες μεταβλητές. Εμείς παρουσιάζουμε γνωστές μετρικές πιθανοτήτων και περιγράφουμε τη σύνδεσή τους με τις στοχαστικές διατάξεις που μελετήσαμε στην παρούσα διατριβή. Μελετάμε το πρόβλημα ευστάθειας (problem of stability) για το κλασικό μοντέλο χρεοκοπίας όσον αφορά την πιθανότητα χρεοκοπίας και το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας, δίνοντας επιπλέον κάποια αριθμητικά παραδείγματα.