Συμπερασματολογία για τις παραμέτρους της κατανομής Laplace

Abstract

Το αντικείμενο της παρούσας διατριβής εντάσσεται ερευνητικά στο πεδίο της Μαθηματικής Στατιστικής. Αρχικά γίνεται παρουσίαση της κατανομής Laplace και ιδιοτήτων αυτής. Αναφέρονται γνωστά γενικά αποτελέσματα που αφορούν σε διατεταγμένες παρατηρήσεις που προκύπτουν από τυχαία δείγματα. Ειδικότερα, παρατίθενται αποτελέσματα στην περίπτωση που η αρχική κατανομή είναι η εκθετική. Στη συνέχεια αποδεικνύονται νέα αποτελέσματα για διατεταγμένες παρατηρήσεις που προκύπτουν από τυχαία δείγματα από την κατανομή Laplace. Ακολουθούν τα πρώτα κύρια αποτελέσματα της διατριβής που αφορούν στη σύγκριση των παραμέτρων θέσης δύο πληθυσμών που προέρχονται από την κατανομή Laplace. Κατασκευάζονται ακριβείς έλεγχοι για την ισότητα των παραμέτρων θέσης δύο κατανομών Laplace με κοινή, αλλά άγνωστη παράμετρο κλίμακας βάσει ανεξάρτητων τυχαίων δειγμάτων. Οι έλεγχοι που συζητώνται είναι ο έλεγχος γενικευμένου λόγου πιθανοφανειών και έλεγχοι που βασίζονται στην τυποποιημένη διαφορά των βέλτιστων γραμμικών αμερόληπτων εκτιμητών των παραμέτρων. Δεσμεύοντας σε συγκεκριμένες ποσότητες οι ακριβείς κατανομές τους εκφράζονται ως μείξεις κατανομών λόγων γραμμικών συνδυασμών ανεξάρτητων εκθετικών τυχαίων μεταβλητών. Αυτό δίνει τη δυνατότητα να υπολογιστούν κλασσικά ποσοστιαία σημεία καθώς και να κατασκευαστούν ακριβή διαστήματα εμπιστοσύνης για την διαφορά των δύο παραμέτρων θέσης. Τέλος, συγκρίνεται αριθμητικά η ισχύς των ελέγχων. Στη συνέχεια γίνεται σύγκριση των παραμέτρων κλίμακας δύο πληθυσμών που προέρχονται από την κατανομή Laplace. Ειδικότερα, κατασκευάζονται ακριβείς έλεγχοι για τη σύγκριση των παραμέτρων κλίμακας δύο κατανομών Laplace βάσει ανεξάρτητων τυχαίων δειγμάτων. Οι έλεγχοι που συζητώνται είναι ο έλεγχος γενικευμένου λόγου πιθανοφανειών και έλεγχοι που βασίζονται είτε στον λόγο των εκτιμητών μέγιστης πιθανοφάνειας είτε στον λόγο των βέλτιστων γραμμικών αμερόληπτων εκτιμητών των παραμέτρων. Υπολογίζεται η ακριβής συνάρτηση κατανομής των στατιστικών συναρτήσεων και μέσω αυτής κλασσικά ποσοστιαία σημεία. Επίσης, κατασκευάζονται αριθμητικά αμερόληπτοι έλεγχοι και αμερόληπτα διαστήματα εμπιστοσύνης για τον λόγο των παραμέτρων κλίμακας. Τέλος, συγκρίνεται αριθμητικά η ισχύς των ελέγχων.