Προσεγγίσεις κατανομών Pareto από συνδυασμούς εκθετικών, κατανομών με εφαρμογές στην θεωρία κινδύνων

Abstract

Στην Αναλογιστική επιστήμη για την εκτίμηση των κινδύνων σε ασφαλιστικούς και χρηματοοικονομικούς τομείς ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι κατανομές με βαριά ουρά. Μια από τις ευρέως γνωστές κατανομές που διαθέτουν βαριά ουρά αποτελεί η κατανομή Pareto την οποία παρουσιάζουμε στο πρώτο κεφάλαιο και κατέχει πρωτεύουσα θέση στην παρούσα διπλωματική εργασία. Επιπρόσθετα στο δεύτερο κεφάλαιο, θα περιγράψουμε και θα αναλύσουμε ένα πολύ βασικό μέτρο ονόματι βαθμίδα αποτυχίας ή ποσοστό σφάλματος. Το μέτρο αυτό εκφράζει τον στιγμιαίο αριθμό των αποτυχιών ενός συστήματος ή τον στιγμιαίο αριθμό θανάτων στην περίπτωση της ανάλυσης επιβίωσης και αποτελεί βασικό πυλώνα για τον σχεδιασμό ασφαλών συστημάτων στους χρηματοοικονομικούς, εμπορικούς και ρυθμιστικούς κλάδους . Στο τρίτο κεφάλαιο μέσω διαφόρων μεθόδων θα προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε την κατανομή Pareto μέσω της μείξης εκθετικών κατανομών και με την βοήθεια πολλών κριτηρίων θα αξιολογήσουμε το πόσο καλή η όχι είναι η προσέγγισή της .Η προσέγγιση της κατανομής Pareto μέσω της μείξης των εκθετικών κατανομών αποτελεί μια χρήσιμη μέθοδο στην θεωρία κινδύνων καθώς υπάρχουν περιπτώσεις όπως κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας χρεοκοπίας όπου δεν καθίσταται δυνατό να την υπολογίσουμε για την κατανομή Pareto και με αυτόν τον τρόπο την υπολογίζουμε μέσω της προσέγγισής της. Στο τέταρτο κεφάλαιο θα ορίσουμε την έννοια της κατανομής ισορροπίας και θα την υπολογίσουμε για την αρχική κατανομή Pareto και την μείξη εκθετικών. Ακόμη θα υπολογίσουμε το ποσοστό σφάλματος χρησιμοποιώντας κατανομές ισορροπίας και θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα με την αρχική μας κατανομή. Επίσης θα διατυπώσουμε και θα εξετάσουμε την έννοια του υπολοιπόμενου χρόνου ζωής υπολογίζοντας την μέση τιμή και την διακύμανση του. Κλείνοντας στο πέμπτο κεφάλαιο θα εισαγάγουμε την έννοια της χρεοκοπίας σε θεωρητικό επίπεδο αλλά υπολογίζοντας την και μαθηματικά ενώ παράλληλα θα δούμε την βασική σύνδεση της κατανομής ισορροπίας με την θεωρία χρεοκοπίας αποδεικνύοντας πως πρόκειται για την κατανομή των κλιμακωτών υψών.