Ουδέτερες κινδύνου κατανομές πιθανότητας μεμειγμένων στοχαστικών διαδικασιών και εφαρμογές

Abstract

Σε αυτή την διδακτορική διατριβή αποδεικνύεται αρχικά, κάτω από μία ασθενή υπόθεση, ότι μέσα στην κλάση των μεικτών ανανεωτικών διαδικασιών το βασικό πρόβλημα πότε κάθε διαδικασία Markov είναι μία μεικτή διαδικασία Poisson με παράμετρο μείξης μία τυχαία μεταβλητή έχει μία θετική λύση. Αυτό συνεπάγεται την ισοδυναμία των διαδικασιών Markov, των μεικτών διαδικασιών Poisson και των διαδικασιών που ικανοποιούν την πολυωνυμική ιδιότητα μέσα στην κλάση των μεικτών ανανεωτικών διαδικασιών. Μία δεύτερη συνέπεια του παραπάνω αποτελέσματος είναι η ισοδυναμία, κάτω από μία ασθενή συνθήκη, όλων των γνωστών σε εμάς ορισμών των μεικτών διαδικασιών Poisson. Στη συνέχεια, γενικεύοντας ένα παλαιότερο αποτέλεσμα των Delbaen & Haezendonck παρουσιάζουμε, για δοσμένη σύνθετη ανανεωτική διαδικασία S κάτω από ένα μέτρο πιθανότητας P, ένα χαρακτηρισμό όλων των μέτρων πιθανότητας Q επάνω στο πεδίο ορισμού του P, ώστε τα P και Q να είναι προοδευτικά ισοδύναμα και η S να παραμένει μία σύνθετη ανανεωτική διαδικασία κάτω από το Q. Ως συνέπεια αποδεικνύεται ότι κάθε σύνθετη ανανεωτική διαδικασία μπορεί να μετατραπεί σε μία σύνθετη διαδικασία Poisson μέσω μίας αλλαγής μέτρων, και παρουσιάζονται κάποιες εφαρμογές στις αρχές υπολογισμού ασφαλίστρου. Τα παραπάνω αποτελέσματα γενικεύονται σε σύνθετες μεικτές ανανεωτικές διαδικασίες, που παρουσιάζουν μεγαλύτερο ενδιαφέρον, αφού αυτές αποτελούν τα υποδείγματα για την μελέτη ανομοιογενών χαρτοφυλακίων ασφαλιστικών εταιρειών. Το τελευταίο αποτέλεσμα έχει εφαρμογές στην τιμολόγηση ασφαλιστικών κινδύνων και γενικεύει το κύριο αποτέλεσμα της διδακτορικής διατριβής του Λυμπερόπουλου [1], Θεώρημα 7.2.9.