Η συνάρτηση των Gerber - Shiu. Μελέτη του χρόνου χρεοκοπίας και μέτρων κινδύνου σε στοχαστικές διαδικασίες πλεονάσματος

Abstract

Στη θεωρία κινδύνου, ο χρόνος χρεοκοπίας είναι μία από τις βασικές μεταβλητές. Ο μετασχηματισμός Laplace, η πυκνότητα και οι ροπές του χρόνου χρεοκοπίας έχουν μελετηθεί από πολλούς συγγραφείς με διαφορετικές παραδοχές. Η συνάρτηση Gerber-Shiu που δόθηκε από τους Gerber και Shiu (1998) αποτελεί ένα αναλυτικό εργαλείο στη μελέτη αυτών των ποσοτήτων. Για παράδειγμα, οι Dickson και Willmot (2005) αντέστρεψαν τη συνάρτηση Gerber-Shiu ως προς τον μετασχηματισμό Laplace του χρόνου χρεοκοπίας, του θεωρήματος Lagrange και έτσι πήραν την πυκνότητα του χρόνου χρεοκοπίας. Ο κύριος στόχος αυτής της εργασίας είναι να μελετήσει τις ροπές του χρόνου χρεοκοπίας χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Gerber-Shiu. Μια εισαγωγή στη συνάρτηση Gerber-Shiu και διαφορετικά μοντέλα της θεωρίας κινδύνου παρέχονται στο Κεφάλαιο 1. Στο κεφάλαιο 2, οι ροπές του χρόνου χρεοκοπίας μελετώνται ως γενικευμένες μορφές της συνάρτησης Gerber-Shiu στο εξαρτημένο μοντέλο Sparre Andersen. Δείχνεται ότι οι δομικές ιδιότητες της συνάρτησης Gerber-Shiu ισχύουν και για τις ροπές του χρόνου χρεοκοπίας. Συγκεκριμένα, οι ροπές συνεχίζουν να ικανοποιούν την ανανεωτική ελλειμματική εξίσωση. Αυτές, αναλύονται λεπτομερώς στο Κεφάλαιο 4 με το μοντέλο των Willmot και Woo (2012), όπου οι ενδιάμεσοι χρόνοι και τα μεγέθη των απαιτήσεων, που εξαρτώνται από τον χρόνο, ακολουθούν την κατανομή Coxian. Στο Κεφάλαιο 3, εξετάζεται μια άλλη μορφή του εξαρτημένου μοντέλου Sparre Andersen με τα μεγέθη απαιτήσεων να ακολουθούν την Coxian (π.χ. Landriault et al. (2014)). Δίνεται μια αναλυτική μορφή των ροπών του χρόνου χρεοκοπίας, η οποία περιλαμβάνει την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Στο Κεφάλαιο 5, ο αριθμός των απαιτήσεων μέχρι την χρεοκοπία εξετάζονται στο ανανεωτικό μοντέλο Sparre Andersen με εκθετικά μεγέθη απαιτήσεων. Η από κοινού κατανομή του χρόνου χρεοκοπίας, ο αριθμός των απαιτήσεων μέχρι την χρεοκοπία και άλλα μέτρα χρεοκοπίας ορίζονται.