https://dione.lib.unipi.gr/xmlui/handle/unipi/117 Thu, 16 Apr 2026 14:55:40 GMT 2026-04-16T14:55:40Z https://dione.lib.unipi.gr/xmlui/handle/unipi/18802 Στοχαστική μοντελοποίηση προβλημάτων συνοριακών τιμών για την εξίσωση Helmholtz και Navier Λάλλας, Κωνσταντίνος; Lallas, Konstantinos G. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάμε προβλήματα συνοριακών τιμών, τόσο στην περιοχή της ακουστικής όσο και στην περιοχή της ελαστικότητας. Αρχικά παρουσιάζουμε το κατάλληλο μαθηματικό πλαίσιο και τις βασικές μαθηματικές έννοιες που αφορούν τις εξισώσεις Helmholtz και Navier. Έπειτα, αναφέρουμε τα προβλήματα συνοριακών τιμών τόσο για την εξίσωση της ακουστικής όσο και της ελαστικότητας τα οποία αυτά μοντελοποιούν το πρόβλημα σκέδασης επίπεδου δυαδικού κύματος στις τρεις διαστάσεις για την περίπτωση της γραμμικής ελαστικότητας και την σύνδεσή του με την θεωρία χαμηλών συχνοτήτων. Στη συνέχεια μοντελοποιούμε τις εξισώσεις Helmholtz και Navier σε στοχαστικό περιβάλλον. Στην στοχαστική εξίσωση Helmholtz μελετάμε αρχικά το πρόβλημα όπου το βαθμωτό πεδίο, η πηγή και η συνοριακή συνθήκη είναι τυχαίες μεταβλητές και στην συνέχεια αναπτύσουμε το πρόβλημα όπου μόνο το κυματικό πεδίο και η πηγή είναι στοχαστικές μεταβλητές, ενώ το βαθμωτό πεδίο είναι ίσο με το μηδέν στο σύνορο. Αντίστοιχα για την εξίσωση Navier θεωρούμε μόνο το διανυσματικό πεδίο και το δεξιό μέλος της εξίσωσης του προβλήματος, ως τυχαίες μεταβλητές ενώ η συνοριακή συνθήκη είναι τύπου Dirichlet. Στο στοχαστικό πρόβλημα της ακουστικής το κυματικό πεδίο, η πηγή του προβλήματος αλλά και τα συνοριακά δεδομένα εκφράζονται ως ανάπτυγμα Wiener chaos. Ειδικότερα, παραθέτουμε την κατάλληλη στοχαστική μεταβολική μορφή του προβλήματος και μετατρέπουμε το στοχαστικό μας πρόβλημα σε μια άπειρη ιεραρχία ντετερμινιστικών προβλημάτων, όπου για το καθένα ντετερμινιστικό πρόβλημα διατυπώνουμε την μεταβολική του μορφή. Στην συνέχεια αποδεικνύουμε την καλή τοποθέτησή τους και παρουσιάζουμε τον κύριο σκοπό της διατριβής μας που είναι η σύνδεση των ντετερμινιστικών προβλημάτων που προέκυψαν με το αρχικό στοχαστικό πρόβλημα και η απόδειξη της ύπαρξης και μοναδικότητας της σταθμισμένης στοχαστικής λύσης Wiener chaos. Τέλος, για την περίπτωση του στοχαστικού προβλήματος της γραμμικής ελαστικότητας, εφαρμόζουμε την ίδια μεθοδολογία όπου μόνο το κυματικό πεδίο και η πηγή του προβλήματος είναι αναπτύγματα Wiener chaos. Δηλαδή, αναδιατυπώνουμε το στοχαστικό πρόβλημα σε μια άπειρη ιεραρχία ντετερμινιστικών προβλημάτων και θεμελιώνουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της σταθμισμένης στοχαστικής λύσης. Για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις των στοχαστικών προβλημάτων παραθέτουμε σημαντικά συμπεράσματα που υποστηρίζουν την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθόδου. Επίσης τονίζουμε κάποιες παρατηρήσεις που αποτελούν τροφή για σκέψη, και θα αποτελέσουν την ερευνητική μας βάση για μελλοντικές ερευνητικές εργασίες. Η διδακτορική διατριβή διαρθρώνεται ως εξής: στο 1o Κεφάλαιο αναφέρουμε την μαθηματική θεωρία που αφορά τα ακουστικά και ελαστικά κύματα και παρουσιάζουμε αναλυτικά τις εξισώσεις Helmholtz και Navier αποδεικνύοντας τις θεμελιώδεις λύσεις τους. Στο δεύτερο Κεφάλαιο εισάγουμε τον αναγνώστη στις βασικές μαθηματικές έννοιες που διέπουν τα προβλήματα συνοριακών τιμών και τα προβλήματα σκέδασης, παρουσιάζοντας αναλυτικά την σκέδασης δυαδικού κύματος στις 3-διαστάσεις για την περίπτωση της γραμμικής ελαστικότητας. Δίνονται αναλυτικοί τύποι για την συνολική διατομή σκέδασης και της σύνδεσής της με την θεωρία χαμηλών συχνοτήτων. Επίσης γίνεται εισαγωγή στα προβήματα συνοριακών τιμών σε στοχαστικό περιβάλλον παρουσιάζοντας αναλυτικά την μαθηματική θεωρία που αφορά τα αναπτύγματα Wiener chaos, τα στοχαστικά πολυώνυμα Hermite και την κατασκευή του σταθμισμένου Wiener chaos χώρου τα οποία μας χρειάζονται για τις στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις των προβλημάτων μας. Στο 3ο Κεφάλαιο διατυπώνουμε τα στοχαστικά προβλήματα που αφορούν την εξίσωση Helmholtz και θεμελιώνουμε την καλή τοποθέτηση της στοχαστικής λύσης. Τέλος, στο 4o Κεφάλαιο αποδεικνύουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της σταθμισμένης στοχαστικής λύσης για το στοχαστικό πρόβλημα της εξίσωσης Navier και παράλληλα παραθέτουμε ερευνητικά συμπεράσματα, παρατηρήσεις και χρήσιμα σχόλια για μελλοντική έρευνα. Sat, 01 Nov 2025 00:00:00 GMT https://dione.lib.unipi.gr/xmlui/handle/unipi/18802 2025-11-01T00:00:00Z https://dione.lib.unipi.gr/xmlui/handle/unipi/18755 Χρόνοι διακοπής με εφαρμογές στα χρηματοοικονομικά και την διαχείριση κινδύνων Οικονομίδης, Ιάκωβος - Δαυίδ; Economides, David - Jacob Ως αντικείμενο μελέτης, οι στοχαστικές ανελίξεις ανήκουν στο ευρύτερο φάσμα της θεωρίας πιθανοτήτων και χρησιμοποιούνται ως μαθηματική μοντελοποίηση φαινομένων τα οποία εξελίσσονται στον χρόνο. Γι’ αυτό το λόγο, αποτελούν κυρίαρχο ρόλο στην μοντελοποίηση προβλημάτων που αφορούν τον κλάδο των χρηματοοικονομικών, τη διαχείριση κινδύνων καθώς και άλλων ακόμα όπως τη φυσική, τη μετεωρολογία, τη βιολογία και ακολουθιακή ανάλυση. Ο βασικός διαχωρισμός τους αφορά τον χρόνο παρατήρησης του στοχαστικού φαινομένου ο οποίος συνήθως γίνεται σε διακριτό και συνεχή χρόνο. Ανάμεσα στις πιο διαδεδομένες ανελίξεις διακριτού χρόνου είναι ο τυχαίος περίπατος ενώ σε συνεχή χρόνο ξεχωρίζουν: η ανέλιξη Poisson, η κίνηση Brown ή αλλιώς ανέλιξη Wiener που υπάγονται στην ευρύτερη οικογένεια των ανελίξεων Lévy. Οι προαναφερθείσες ανελίξεις αποτελούν το επίκεντρο μελέτης της παρούσας διδακτορικής διατριβής προσανατολίζοντας την εφαρμογή τους στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση κινδύνων. Μια πολύ σημαντική έννοια, που σχετίζεται με την διαδρομή μια ανέλιξης, είναι αυτή του χρόνου διακοπής. Ο χρόνος διακοπής είναι μια τυχαία μεταβλητή με ακέραιες ή συνεχείς τιμές ο οποίος προσδιορίζεται με βάση τη διαθέσιμη πληροφορία που παρέχεται από την πραγματοποίηση μιας στοχαστικής ανέλιξης. Συγκεκριμένα, σχετίζεται με την πρώτη χρονική στιγμή που η υπό μελέτη ανέλιξη ικανοποιεί μια συνθήκη. Αξίζει να αναφερθεί πως ο ρόλος του χρόνου διακοπής είναι καθοριστικός για πολλά από τα σημαντικότερα ευρήματα της θεωρίας της στοχαστικής ανάλυσης όπως είναι η έννοια της στοιχηματικής ανέλιξης (martingale) και το Θεώρημα Επιλεκτικής Διακοπής. Οι κυριότερες εφαρμογές που απασχολούν την παρούσα διδακτορική διατριβή είναι οι εξής: i) Στον αναλογισμό, ο χρόνος έως ότου η ανέλιξη πλεονάσματος μιας ασφαλιστικής εταιρίας υπερβεί κάποιο επίπεδο ασφαλείας ή πέσει κάτω από το μηδέν και αποτελεί αντικείμενο μελέτης της θεωρίας χρεοκοπίας. ii) Ο χρόνος που η χρηματιστηριακή τιμή ενός αξιογράφου υπερβεί ένα κατώφλι σηματοδοτώντας την εξάσκηση, την ενεργοποίηση ή απενεργοποίηση ενός συγκεκριμένου δικαιώματος προαίρεσης. Στο Κεφάλαιο 1, αρχικά γίνεται μια σύντομη αναφορά των στοχαστικών ανελίξεων διακριτού και συνεχούς χρόνου και παρουσιάζονται οι βασικότερες από αυτές, όπως η ανέλιξη Lévy και οι ανελίξεις martingale. Στη συνέχεια δίνεται ο ορισμός του χρόνου διακοπής και η αναφορά των κυριότερων αποτελεσμάτων που σχετίζονται με αυτόν. Κλείνοντας, γίνεται μια αναφορά σε τεχνικές αλλαγής μέτρου και πώς αυτές εφαρμόζονται στις στοχαστικές ανελίξεις. Στο Κεφάλαιο 2, παρουσιάζονται τα πιο γνωστά μοντέλα που περιγράφουν την ανέλιξη πλεονάσματος, όπως είναι το ανανεωτικό μοντέλο Sparre Andersen και το κλασικό μοντέλο εφοδιασμένο με διάχυση. Έπειτα γίνεται εισαγωγή στις κυριότερες έννοιες όπως η πιθανότητα χρεοκοπίας και η αναμενόμενη προεξοφλητική συνάρτηση ποινής Gerber-Shiu. Για κάθε ένα από τα παραπάνω μοντέλα αποδεικνύονται τρόποι υπολογισμού της συνάρτησης Gerber-Shiu, χρησιμοποιώντας την τεχνική της αλλαγής μέτρου. Αναλυτικοί τύποι παρουσιάζονται στην περίπτωση που οι αποζημιώσεις μοντελοποιούνται μέσω της εκθετικής κατανομής. Στο τέλος, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα με σκοπό την καλύτερη κατανόηση όσων αποτελεσμάτων σχολιάστηκαν σε αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο της θεωρίας χρεοκοπίας. Tο Κεφάλαιο 3 ξεκινά με αναφορά στην έννοια των γενικευμένων συναρτήσεων Gerber-Shiu και αφορά την περίπτωση που ο χρόνος διακοπής είναι η στιγμή χρεοκοπίας. Έπειτα προτείνεται ένας τρόπος που οδηγεί στην επέκταση κάθε υπάρχουσας γενικευμένης συνάρτησης Gerber-Shiu σε μια νέα συνάρτηση η οποία λαμβάνει υπόψιν της και τον αριθμό των αποζημιώσεων μέχρι τη χρεοκοπία. Το συγκεκριμένο αποτέλεσμα βασίζεται σε μια τεχνική αλλαγής μέτρου και εφαρμόζεται στην περίπτωση μελέτης του μοντέλου Sparre Andersen επιτρέποντας την παρουσία εξάρτησης μεταξύ των αποζημιώσεων και των ενδιάμεσων χρόνων διαδοχικών αποζημιώσεων. Για συγκεκριμένες υποθέσεις εξάρτησης, αναλυτικοί τύποι δίνονται μαζί με συναρτήσεις που απορρέουν από μια ειδική περίπτωση γενικευμένης συνάρτησης Gerber-Shiu. Κλείνοντας, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα των θεωρητικών αποτελεσμάτων που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο. Το Κεφάλαιο 4, αφορά την πιο γενική περίπτωση όπου το πλεόνασμα περιγράφεται μέσω μιας ανανεωτικής ανέλιξης διάχυσης με άλματα. Ο χρόνος διακοπής που μελετάται, είναι η στιγμή πρώτης εξόδου του πλεονάσματος από ένα διάστημα της μορφής [0,b], εισάγοντας την έννοια του ανώτατου ορίου b. Στο μοντέλο αυτό μια νέα μορφή γενικευμένης συνάρτησης τύπου Gerber-Shiu εισάγεται με το πλεόνασμα να επιθεωρείται επιλεκτικά σε χρονικές στιγμές αποζημιώσεων. Μια ειδική περίπτωση της προτεινόμενης συνάρτησης δίνει την δυνατότητα να μελετηθεί η από κοινού κατανομή του χρόνου, του αριθμού των αποζημιώσεων, του συνολικού πλεονάσματος και του συνολικού ποσού αποζημίωσης έως ότου το πλεόνασμα εξέλθει από το διάστημα [0,b]. Για αυτή τη συνάρτηση κλειστοί τύποι δίνονται υπό συγκεκριμένες κλάσεις κατανομών οι οποίες έχουν την ικανότητα να προσεγγίσουν οποιεσδήποτε θετικές κατανομές. Η εφαρμογή των θεωρητικών αποτελεσμάτων παρουσιάζεται μέσω αριθμητικών παραδειγμάτων στο τέλος του κεφαλαίου. Το Κεφάλαιο 5 είναι εισαγωγικό και παρουσιάζονται θεμελιώδεις έννοιες που σχετίζονται με τα παράγωγα χρηματοοικονομικά προϊόντα. Ειδικότερα, επικεντρώνεται σε γενική παρουσίαση των δημοφιλέστερων δικαιωμάτων προαίρεσης. Δύο περιπτώσεις ξεχωρίζουν μεταξύ αυτών και σχολιάζονται εκτενέστερα. Η πρώτη αφορά τα δικαιώματα προαίρεσης κατωφλίου (barrier option) στα οποία ο χρόνος διακοπής είναι ντετερμινιστικός. Για μια υποκατηγορία δικαιωμάτων κατωφλίου παρουσιάζεται ο τρόπος τιμολόγησής του, μέσω κατάλληλης τεχνικής αλλαγής μέτρου με τα κλασικά δικαιώματα Ευρωπαϊκού τύπου να προκύπτουν ως ειδική περίπτωση. Έπειτα, κλειστοί τύποι παρουσιάζονται στην περίπτωση της γεωμετρικής κίνησης Brown. Η δεύτερη περίπτωση δικαιωμάτων είναι αυτή των Αμερικανικού τύπου με δυνατότητα εξάσκησης στο διηνεκές όπου ο χρόνος διακοπής αποτελεί την στιγμή εξάσκησης του δικαιώματος από τον κάτοχο του. Αναλυτικά αποτελέσματα παρουσιάζονται μέσω αλλαγής μέτρου στην περίπτωση της γεωμετρικής κίνησης Brown. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με την παρουσίαση αριθμητικών παραδειγμάτων. Το Κεφάλαιο 6 αποτελεί το τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής στο οποίο μελετώνται τα δικαιώματα Αμερικανικού τύπου με δυνατότητα εξάσκησης στο διηνεκές. Σε αυτό το κεφάλαιο, μια από τις βασικότερες υποθέσεις συνεχούς επιθεώρησης της αξίας μιας μετοχής αντικαθίσταται από μια νέα και σε ορισμένες περιπτώσεις πιο ρεαλιστική, υπόθεση από αυτή της τυχαίας επιθεώρησης. Η υπόθεση αυτή γίνεται για να ερμηνεύσει καλύτερα τα μοντέλα συνεχούς χρόνου δίνοντας έμφαση στην αβεβαιότητα ορισμένου τύπου επενδυτών που ενεργούν σε τυχαίους χρόνους. Εφαρμόζοντας την ιδέα αυτή, μελετάται η περίπτωση μιας τυχαία επιθεωρημένης ανέλιξης διάχυσης με άλματα (Lévy). Χρησιμοποιώντας ως βασικό εργαλείο την τεχνική αλλαγής μέτρου, γίνεται τιμολόγηση του δικαιώματος βασιζόμενη σε μια βέλτιστη στιγμή εξάσκησης. Τα γενικά αποτελέσματα εφαρμόζονται στην περίπτωση της γεωμετρική κίνησης Brown καθώς και σε μια ανέλιξη διάχυσης με εκθετικά κατανεμημένα άνω και κάτω άλματα. Τέλος, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα σε αποτελέσματα που εξήχθησαν αναλυτικοί τύποι, δίνοντας έμφαση στην παράμετρο τυχαίας επιθεώρησης η οποία βασίζεται σε μία εξωγενή ανέλιξη Poisson. Mon, 01 Dec 2025 00:00:00 GMT https://dione.lib.unipi.gr/xmlui/handle/unipi/18755 2025-12-01T00:00:00Z https://dione.lib.unipi.gr/xmlui/handle/unipi/18711 Διδακτική προσέγγιση των θετικών επιστημών στη ναυτική εκπαίδευση με τη βοήθεια των νέων τεχνολογιών Καρναβάς, Στέφανος Η ναυτική εκπαίδευση, είναι ένας κλάδος με υψηλό βαθμό εφαρμοσμένων γνώσεων και αποτελεί ουσιαστικό πυλώνα ανάπτυξης της ελληνικής ναυτικής υπεροχής, παγκοσμίως. Παρόλα αυτά, βρίσκεται αντιμέτωπη με σημαντικές προκλήσεις, ιδίως σε ό,τι αφορά στην προσέγγιση των θετικών επιστημών και στη σύνδεση των θεωρητικών γνώσεων με την πράξη. Η παρούσα διατριβή, ασχολείται με το ανωτέρω θέμα, εξετάζοντας το πώς οι νέες τεχνολογίες (ΝΤ) μπορούν να υποστηρίξουν τη διδασκαλία των μαθημάτων και να βελτιώσουν τη συνολική εκπαιδευτική εμπειρία (αύξηση της κατανόησης, προώθηση της ενεργού συμμετοχής των σπουδαστών) στις Ακαδημίες Εμπορικού Ναυτικού. Sat, 01 Nov 2025 00:00:00 GMT https://dione.lib.unipi.gr/xmlui/handle/unipi/18711 2025-11-01T00:00:00Z https://dione.lib.unipi.gr/xmlui/handle/unipi/17672 Από κοινού παρακολούθηση της μέσης τιμής και της μεταβλητότητας μιας διεργασίας με διαγράμματα ελέγχου ροής αθροίσματος Φουντουκίδης, Κωνσταντίνος; Fountoukidis, Konstantinos Στην παρούσα διδακτορική διατριβή παρουσιάζονται νέα ενιαία διαγράμματα ελέγχου για την ταυτόχρονη παρακολούθηση των παραμέτρων μιας παραγωγικής διεργασίας τα οποία έχουν βελτιωμένη απόδοση. Συγκεκριμένα, βασικό αντικείμενο της διατριβής αποτελεί η χρήση της τεχνικής ροής αθροίσματος (run sum) στη μελέτη και ανάπτυξη διαγραμμάτων ελέγχου τα οποία είναι ικανά να εντοπίζουν μετατοπίσεις στις παραμέτρους της διεργασίας απεικονίζοντας μια μόνο στατιστική συνάρτηση σε αυτά. Αρχικά μελετάται ένα ενιαίο διάγραμμα ελέγχου ροής αθροίσματος για την ταυτόχρονη παρακολούθηση της μέσης τιμής και της τυπικής απόκλισης της διεργασίας. Το προτεινόμενο διάγραμμα ελέγχου είναι κατάλληλο στην ανίχνευση αυξήσεων ή μειώσεων στον μέσο ή/και στην τυπική απόκλιση της διεργασίας. Στη συνέχεια παρουσιάζεται και μελετάται ένα δυναμικό ενιαίο διάγραμμα ελέγχου ροής αθροίσματος για την από κοινού παρακολούθηση του μέσου και της τυπικής απόκλισης. Στο διάγραμμα αυτό επιτρέπεται να μεταβάλλεται το μέγεθος δείγματος ή/και το διάστημα δειγματοληψίας, με σκοπό την περαιτέρω αύξηση της ευαισθησίας του διαγράμματος ελέγχου στην ανίχνευση μετατοπίσεων στις παραμέτρους της διεργασίας. Τέλος, παρουσιάζεται ένα διάγραμμα ελέγχου ροής αθροίσματος για την ταυτόχρονη παρακολούθηση των παραμέτρων μιας διεργασίας που περιγράφεται από μία μετατοπισμένη εκθετική κατανομή. Τα διαγράμματα που μελετηθήκαν είναι εύχρηστα και ικανά στο να εντοπίζουν την παράμετρο, ή τις παραμέτρους που έχουν μετατοπιστεί. Από τη σχετική βιβλιογραφική επισκόπηση προέκυψε πως τα διαγράμματα ελέγχου που μελετώνται στην παρούσα διδακτορική διατριβή είναι πρωτότυπα. Η αριθμητική μελέτη έδειξε ότι μπορούν να αποτελέσουν αξιόπιστα διαγράμματα ελέγχου για την ταυτόχρονη παρακολούθηση των παραμέτρων μιας διεργασίας, καθώς έχουν σημαντικά βελτιωμένη αποτελεσματικότητα στον εντοπισμό πληθώρας εκτός ελέγχου καταστάσεων. Για όλα τα παραπάνω διαγράμματα ελέγχου παρουσιάζεται ο στατιστικός σχεδιασμός τους και ο τρόπος λειτουργίας τους. Υπολογίζεται η απόδοσή τους όταν γνωρίζουμε το ακριβές μέγεθος των μετατοπίσεων, αλλά και η ολική απόδοσή τους για διάφορα εύρη μετατοπίσεων στις παραμέτρους της διεργασίας. Τέλος, η πρακτική εφαρμογή των διαγραμμάτων ελέγχου παρουσιάζεται σε πραγματικά προβλήματα από τη βιομηχανία. Sat, 01 Mar 2025 00:00:00 GMT https://dione.lib.unipi.gr/xmlui/handle/unipi/17672 2025-03-01T00:00:00Z