Διατήρηση των ιδιοτήτων IFR/DFR

Abstract

Η παρούσα διπλωµατική εργασία έχει ως θέµα τη διατήρηση των ιδιοτήτων φθοράς κατά το σχηµατισµό µονότονων συστηµάτων. Συγκεκριµένα, ενδιαφέρον παρουσιάζει το ερώτηµα αν ένα µονότονο σύστηµα, που σχηµατίζεται από IFR/DFR µονάδες, διατηρεί την ιδιότητα αυτή. Για το σκοπό αυτό σηµαντική έννοια είναι η υπογραφή ενός συστήµατος, µε τη βοήθεια της οποίας ορίζεται µία υποοικογένεια της κλάσης των µονότονων συστηµάτων που είναι κλειστή ως προς την ιδιότητα IFR/DFR. Στα πλαίσια της εργασίας διατυπώνονται και ερευνώνται ανάλογα ερωτήµατα και για ευρύτερες κλάσεις κατανοµών, όπως οι NBU/NWU, IFRA/DFRA, κ.α. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της βαθµίδας αποτυχίας, παρουσιάζεται η ερµηνεία της και περιγράφονται οι διάφορες µορφές της. Στη συνέχεια δίνονται αναλυτικά παραδείγµατα της βαθµίδας αποτυχίας πολλών γνωστών συνεχών και διακριτών κατανοµών, στα οποία παρουσιάζεται ο τύπος και η γραφική της παράσταση. Στο τέλος του κεφαλαίου προτείνονται εκτιµητές της βαθµίδας αποτυχίας από εµπειρικά δεδοµένα. Στο δεύτερο κεφάλαιο οι κατανοµές χρόνων ζωής ταξινοµούνται σε διάφορες κλάσεις, µε βάση τη βαθµίδα αποτυχίας ή το µέσο υπολειπόµενο χρόνο ζωής τους. Οι κλάσεις IFR, DFR, IFRA και DFRA αναλύονται διεξοδικά, καθώς διατυπώνονται και αποδεικνύονται προτάσεις που ισχύουν για κατανοµές που ανήκουν σε αυτές. Τέλος η συνολοθεωρητική διάταξη µεταξύ των κλάσεων θεµελιώνεται µε αποδείξεις και αντιπαραδείγµατα κατανοµών. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγουµε ένα σηµαντικό χαρακτηριστικό ενός συστήµατος αξιοπιστίας που ονοµάζεται υπογραφή (signature). Αρχικά δίνονται οι ορισµοί της συνάρτησης δοµής και της µονοτονίας ενός συστήµατος, οι οποίοι είναι απαραίτητοι για την περιγραφή και ερµηνεία της υπογραφής του. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι υπογραφές γνωστών συστηµάτων και ο τρόπος υπολογισµού τους. Τέλος δίνεται ιδιαίτερη βαρύτητα στις εφαρµογές και χρήσεις της έννοιας της υπογραφής στην Αξιοπιστία, όπως για παράδειγµα στη σύγκριση των χρόνων ζωής διαφόρων συστηµάτων. Στο τέταρτο κεφάλαιο µελετούµε τη συµπεριφορά διαφόρων κλάσεων κατά το σχηµατισµό µονότονων συστηµάτων. Συγκεκριµένα θα δούµε, µε τη βοήθεια αντιπαραδειγµάτων, ιδιότητες των µονάδων που δεν διατηρούνται στο σύστηµα, (π.χ. οι ιδιότητες IFR, DFR, NBUE κ.α.), αλλά και θα αποδείξουµε θεωρήµατα για κλάσεις (ιδιότητες) που είναι κλειστές ως προς τη λειτουργία αυτή (π.χ. IFRA, NBU, NBAFR). Τέλος, θα διατυπώσουµε προτάσεις για µη κλειστές κλάσεις, που δίνουν συνθήκες, οι οποίες αν ισχύουν, καθιστούν κλειστές τις κλάσεις αυτές ως προς το σχηµατισµό µονότονων συστηµάτων.