Collective risk model:the multivariate case

Abstract

Στα σύγχρονα πλαίσια της θεωρίας κινδύνου και της θεωρίας χρεοκοπίας, η ανάλυση και περιγραφή της κατανομής πιθανότητας, που ακολουθεί ο αριθμός των αποζημιώσεων μέχρι τη στιγμή που θα συμβεί η χρεοκοπία ή μέχρι κάποια άλλη συγκεκριμένη χρονική στιγμή, μπορεί να παίξει σημαντικό ρόλο όσον αφορά στη μελέτη ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου κινδύνων, σε μία δεδομένη χρονική περίοδο εξέλιξής του. Προφανώς, επειδή υπάρχουν πάρα πολλές επιλογές για την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής που δηλώνει τον αριθμό των αποζημιώσεων, στην παρούσα διπλωματική χρησιμοποιούμε κάποιες οικογένειες κατανομών για την τυχαία μεταβλητή που χαρακτηρίζονται από μία συγκεκριμένη ιδιότητα. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, θα μας απασχολήσει η περίπτωση που η τυχαία μεταβλητή ανήκει στην οικογένεια κατανομών Panjer, στη συνέχεια θα κάνουμε μία εκτενέστερη μελέτη σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις και, τέλος, βλέπουμε και την αντίστοιχη εκδοχή της Vernic. Μέχρι το 1981, οι αναλυτές - αναλογιστές χρησιμοποιούσαν τη βασική μέθοδο υπολογισμού (παραλείπεται, αφού είναι μία ξεπερασμένη και χρονοβόρα διαδικασία) της κατανομής των συνολικών ζημιών για το μοντέλο συλλογικού κινδύνου. Το 1981 ο Harry Panjer δημοσίευσε μία εργασία του στο διεθνές αναλογιστικό περιοδικό ASTIN BULLETIN (Actuarial Studies In Non- Life Insurance), όπου έδωσε τον αναδρομικό υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας των συνολικών ζημιών ενός χαρτοφυλακίου για διακριτά ύψη ζημιών, θεωρώντας ότι η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής ανήκει σε μια ευρεία οικογένεια (κλάση) κατανομών. Από τότε και ύστερα, η προσπάθεια αρκετών ερευνητών επικεντρώθηκε στο να θεωρούμε ότι η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής ικανοποιεί κάποια αναδρομική σχέση που χαρακτηρίζει μια ευρεία οικογένεια κατανομών, και με βάση αυτή τη σχέση να υπολογίζουμε αναδρομικά τη συνάρτηση πιθανότητας/πυκνότητας των συνολικών ζημιών ενός χαρτοφυλακίου. Σε κάθε περίπτωση πάντως, η παρούσα διπλωματική εργασία, δεν θα ασχοληθεί ιδιαίτερα με όλο το φάσμα των αναδρομικών σχέσεων που έχουν προταθεί για τον Το Συλλογικό Πρότυπο της Θεωρία Κινδύνων Page 6 αριθμό των αποζημιώσεων, αφού εξετάζεται κυρίως η περίπτωση της αναδρομικής σχέσης του Panjer και κάποιες επεκτάσεις της. Σε αυτή την εργασία θα αναφερθούμε στο συλλογικό πρότυπο της θεωρίας κινδύνου, όπου το σύνολο των αποζημιώσεων περιγράφεται από τη σχέση 𝑆=𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑁, η τυχαία μεταβλητή 𝑁 δηλώνει το πλήθος των απαιτήσεων και η τυχαία μεταβλητή 𝑋𝑖 δηλώνει το μέγεθος της 𝑖 αποζημίωσης (𝑖=1,2,…). Στη βιβλιογραφία έχουν προταθεί πολυδιάστατες γενικεύσεις του παραπάνω μοντέλου είτε της μορφής 𝑺=𝑿1+𝑿2+⋯+𝑿𝑁, 𝑿𝑖=(𝑋𝑖1,𝑋𝑖2,…,𝑋𝑖𝑚), είτε της μορφής 𝑺=(𝑆1,𝑆2,…,𝑆𝑚), 𝑆𝑖=𝑋𝑖1+𝑋𝑖2+⋯+𝑋𝑖𝑁𝑖. Στόχος της διπλωματικής είναι η μελέτη των δύο παραπάνω γενικεύσεων καθώς επίσης και η παρουσίαση και ανάλυση πρακτικών περιπτώσεων, με έμφαση στη δισδιάστατη περίπτωση. Αρχικά, θα αναφερθούμε στην μονοδιάστατη περίπτωση, ώστε να μπορέσει να γίνει προοδευτικά η σύνδεση και να κατανοήσει με ευκολία ο αναγνώστης τη γενίκευση σε περισσότερες διαστάσεις. Στο πρώτο κεφάλαιο, λοιπόν, παρουσιάζουμε τον αναδρομικό τύπο του Panjer για τον υπολογισμό της κατανομής των συνολικών απαιτήσεων, καθώς και ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, στη μονοδιάστατη περίπτωση. Στη συνέχεια, κάνουμε μία επισκόπηση στη δισδιάστατη περίπτωση της αναδρομικής σχέσης του Panjer μέσω τριών βασικών μοντέλων και της εκδοχής της Vernic, όπου θα γίνει μία εκτενέστερη αναφορά και έρευνα, και στο τελευταίο κεφάλαιο θα εκθέσουμε τη επέκταση της αναδρομικής σχέσης του Panjer στη πολυδιάστατη περίπτωση, που όπως και στη δισδιάστατη, θα αναφερθούμε στην κλάση κατανομών του Panjer, θα δούμε κάποιες ειδικές περιπτώσεις και την εκδοχή της Vernic.